Приложения на лицата

[Pa1n]

Здравейте! Може ли помощ за две задачи от сборника на Коста Коларов. Ето ги и задачите:

Зад. 1 Точките E, F, K, L са средите съответно на страните AB, BC, CD, DA на успоредника ABCD. Да се намери лицето на четириъгълника, ограничен от правите AF, BK, CL и DE, ако лицето на успоредника е [tex]a^{2}[/tex]. ОТГ:[tex]\frac{1}{5}a^{2}[/tex]

Зад. 2 Правата AD дели медианата BM на ▲ABC в отношение 5:1, считано от B. В какво отношение AD дели лицето на ▲ABC. ОТГ: 5:2

[pipi langstrump]

1. PG, NF, ME, QH са средни отсечи. Търсеното лицe на EFGH означаваме с S*, лицето на ABCD с S:

[tex]S_{EGH} = S_{GDH} = \frac{1}{2} S_{HCD}[/tex]
[tex]S_{EFG} = S_{EBF} = \frac{1}{2} S_{ABF}[/tex]
[tex]S_{EHF} = S_{AEH} = \frac{1}{2} S_{AED}[/tex]
[tex]S_{FGH} = S_{FCG} = \frac{1}{2} S_{GBC}[/tex]
Събираме всички уравнения:
[tex](S_{EGH} + S_{EFG}) + (S_{EHF} + S_{FGH}) = \frac{1}{2}(S_{HCD}+S_{ABF}+S_{AED}+S_{GBC})[/tex]
[tex]S* +S* = \frac{1}{2}(S - S*)[/tex]
[tex]S* = \frac{S}{5}[/tex]

[pipi langstrump]

2.

[tex]\frac{S_{ABG}}{S_{GBD}} = \frac{AG}{GD} \equiv k[/tex]
[tex]\frac{S_{AGM}}{S_{GBD}} = \frac{k}{5}[/tex]
[tex]\frac{S_{MGD}}{S_{ABG}} = \frac{1}{5k}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}S_{ADC} = S_{ADM} = S_{AGM}+S_{MGD} = \frac{k}{5}S_{GBD} + \frac{1}{5k}S_{ABG} = \frac{S_{ABG}}{5} + \frac{S_{GBD}}{5} = \frac{S_{ABD}}{5}[/tex]
[tex]\frac{S_{ADC}}{S_{ABD}} = \frac{2}{5}[/tex]