Лице на триъгълник, S=r.r3, където r i r3 са радиусите на

[SmiLe1994]

Докажете, че лицето на правоъгълен триъгълник е S=r.r3, където r i r3 са радиусите на вписаната и външно вписаната окръжност, която се опира до хипотенузата. Упътването което ми е дадено е да докажа, че r3=a+b+c/2.
Моля помогнете

[strangerforever]

Като построиш двата радиуса на външновписаната, да кажем OH (към AC), OM (към BC), се получава 4-ъгълник, който е правоъгълник (OHCM), ако правият ъгъл е при върха C. Освен това е и квадрат, защото е с две съседни равни страни. Нека докажем, че CH = CM = p, което се учи в 8ми клас, но все пак.

Нека външновписаната към хипотенузата се допира в точка N. Нека AN = AH = x и BN = BM = y.

Имаме P = a + b + c = a + b + x + y.
Обаче a + y = b + x (понеже допирателна от една точка към една окръжност).
Тогава става P = 2a + 2y <=> a + y = p.

Тогава страната на правоъгълника е [tex]p = \frac{a+b+c}{2} => r_3 = \frac{a+b+c}{2}[/tex]

Нека допуснем, че [tex]S = \frac{ab}{2} = r.r_3 = \frac{a+b-c}{2}.\frac{a+b+c}{2}[/tex]

Имаме [tex]\frac{ab}{2} = \frac{ (a+b)^2 - c^2}{4}[/tex]

[tex]\frac{ab}{2} = \frac{ a^2 + 2ab + b^2 - c^2}{4}[/tex]

[tex]\frac{ab}{2} = \frac{2ab}{4}[/tex]

[tex]\frac{ab}{2} = \frac{ab}{2}[/tex]

Допускането е вярно.