Две окръжности с радиуси R и r се допират вътрешно...

[dannk]

Две окръжности с радиуси R и r се допират вътрешно.Да се намери страната на равностранен триъгълник, единият връх на който съвпада с допирната точка на двете окръжности, а другите два върха лежат съответно на различните окръжности.

[pipi langstrump]

Лесно доказваме, че означените ъгли са равни и че височините (ъглполовящите) в двата триъгълника лежат на една права. Означаваме означения ъгъл с [tex]\alpha[/tex] :
[tex]\frac{R-r}{sin(180 - (30 +\alpha ))} = \frac{r}{sin(180 - (180 - (30 +\alpha ) +2\alpha))}[/tex]
[tex]\frac{R-r}{sin(30+\alpha )} = \frac{r}{sin(30 -\alpha)}[/tex]
[tex]\frac{R-r}{r} = \frac{\frac{1}{2} cos \alpha + \frac{\sqrt{3} }{2} sin\alpha }{ \frac{1}{2} cos \alpha - \frac{\sqrt{3} }{2} sin\alpha} = \frac{1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha }{ 1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha}[/tex]
[tex]\operatorname{tg} \alpha = \frac{R - 2r}{\sqrt{3} R}[/tex]
От малкото равнобедрено триъгълниче:
[tex]cos \alpha = \frac{\frac{a}{2} }{r} , a = 2r cos \alpha = 2r cos( {\operatorname{arctg}} \frac{R - 2r}{\sqrt{3} R}) = \frac{2r}{\sqrt{1 + \frac{(R - 2r)^2}{3 R^2}} }[/tex]
[tex]a = \frac{2r}{\sqrt{1 + \frac{(R - 2r)^2}{3 R^2}} }[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]cos \alpha = \frac{\frac{a}{2} }{r} , a = 2r cos \alpha = 2r cos( {\operatorname{arctg}} \frac{R - 2r}{\sqrt{3} R})[/tex]

Това не го схванах може ли обяснение