Задачка с триъгълник и окръжности

[Mr.G{}{}Fy]

1. В окръжност [tex]k[/tex] е вписан триъгълник [tex]ABC[/tex], такъв, че [tex]\angle ACB = 30^\circ[/tex] . Окръжност [tex]k_1[/tex] с център точката [tex]O_1 \in k[/tex] минава през точките [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] и пресича правата [tex]AB[/tex]в точката [tex]Q[/tex]такава, че точката [tex]A[/tex]е между [tex]Q[/tex]и [tex]B[/tex]и [tex]QB = AB\sqrt{3}[/tex]. Намерете ъглите на триъгълника [tex]ABC.[/tex]

[strangerforever]

Нека [tex]AB = a, QB = \sqrt{3}a, \angle ABC = \beta, \angle BAC = \alpha[/tex]

[tex]BAOC_1[/tex] - вписан в окръжност [tex]\Rightarrow \angle AO_1C = 180^\circ - \beta \Rightarrow \stackrel{\frown}{AC} = 180^\circ - \beta[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle CQB = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \Rightarrow \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\beta}{2} - \beta = 90^\circ - \frac{\beta}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow QB = BC = \sqrt{3}a[/tex]

[tex]sinT (\Delta ABC): \frac{a}{sin30^\circ } = \frac{\sqrt{3}a}{sin\alpha} \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}
\Leftrightarrow \alpha = 60^\circ \cup \alpha = 120^\circ[/tex]


Отг.: [tex]30^\circ, 60^\circ, 90^\circ[/tex] или [tex]30^\circ, 30^\circ, 120^\circ[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Мерси много задачата ми изглеждаше интересна ама чертежа ми е ужас някакви линийки и чудеса Можеш ли да ми препоръчаш някаква програма за чертаене на компютър? Така ще мога да гледам чертежите в голям мащаб и ще ми е доста по-лесно предполагам

[strangerforever]

CarMetal, GeoGebra.