Задачи за трапец

[tonyld]

1 зад. Диагоналите на трапец ABCD (AB||CD) се пресичат в точка O. Докажете, че триъгълниците OAD и OBC са равнолицеви.

2 зад. Диагоналите на трапец ABCD (AB||CD) се пресичат в точка O. Лицата на триъгълниците ABO и CDO са съответно S1 и S2. Докажете, че [tex]\sqrt{S}[/tex] = [tex]\sqrt{S1}[/tex] + [tex]\sqrt{S2}[/tex] , където S е лицето на трапеца.

3 зад. Основите на трапец са а и b (a>b). Намерете двете отсечки, които са успоредни на основите на трапеца и го разделят на три равнолицеви трапеци.

[amsara]

[tex]DH \bot AB =>DH=h; H \in AB[/tex]
[tex]AB=a=> S_{ABD}=\frac{ah}{2 }[/tex]
[tex]CN \bot AB =>CN=h; N \in AB[/tex]
[tex]AB=a=> S_{ABC}=\frac{ah}{2 }[/tex]
[tex]S_{ABD}=S_{ABC}=S[/tex]
Нека [tex]S_AOB=S_{1}[/tex]
[tex]S_{AOD}=S-S_{1}[/tex]
[tex]S_{BOC}=S-S_{1}[/tex]
[tex]=>S_{AOD}=S_{BOC}[/tex]

[Евва]

2 зад. Да означим [tex]S_{ABCD }[/tex]=S ,[tex]S_{AOD }[/tex]=[tex]S_{OBC }[/tex]=[tex]S_{3 }[/tex] , [tex]S_{ABO }[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex] , [tex]S_{CDO }[/tex]=[tex]S_{2 }[/tex] и AB=a ,CD=b ,[tex]h_{1 }[/tex] е височината към АВ в [tex]\triangle[/tex]АВО ,
[tex]h_{2 }[/tex] е височината към CD в [tex]\triangle[/tex]OCD [ височината на трапеца h=[tex]h_{1 }[/tex]+[tex]h_{2 }[/tex] ]
[tex]S_{3 }[/tex]=
[tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]=[tex]S_{ACD }[/tex] ; [tex]S_{3 }[/tex]+[tex]\frac{bh_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{bh}{2}[/tex] ; [tex]S_{3 }[/tex]=[tex]\frac{b(h-h_{2 })}{2}[/tex] ; [tex]S_{3 }[/tex]=[tex]\frac{bh_{1 }}{2}[/tex] (1)
По аналогичен начин намираме [tex]S_{3 }[/tex]=[tex]\frac{ah_{2 }}{2}[/tex] (2)

S=[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+2[tex]S_{3 }[/tex]
S=[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+2[tex]\sqrt{S_{3 }.S_{3 }}[/tex]

S=[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+2[tex]\sqrt{\frac{ah_{2 }}{2}.\frac{bh_{1 }}{2}}[/tex]

S=[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+2[tex]\sqrt{\frac{ah_{1 }}{2}.\frac{bh_{2 }}{2}}[/tex]

S=([tex]\sqrt{S_{1 }})^{2}[/tex]+([tex]\sqrt{S_{2 }})^{2}[/tex]+2[tex]\sqrt{S_{1 }.S_{2 }}[/tex]

S=([tex]\sqrt{S_{1 }}+\sqrt{S_{2 }})^{2}[/tex]

[tex]\sqrt{S}[/tex]=[tex]\sqrt{S_{1 }}[/tex]+[tex]\sqrt{S_{2 }}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2020-01-06T223932.573.png (257.94 KiB) Прегледано 991 пъти

3 зад. Основите на трапец са а и b (a>b). Намерете двете отсечки, които са успоредни на основите на трапеца и го разделят на три равнолицеви трапеци.

Нека [tex]MN || AB, MN = x > 0, PQ||AB ,PQ = y > 0[/tex]
Подлагам на транслация с вектор $ \vec{DC}$ бедрото $AD$ при която $D\rightarrow C , A\rightarrow A_{1 } , M\rightarrow M_{1 } , P\rightarrow P_{1 }$
$S_{ABNM } = S_{MNQP } = S_{PQCD } \Leftrightarrow \frac{a + x}{2}h_{1 } = \frac{x + y}{2}h_{2 } = \frac{y + b}{2}h_{3 }$

1)$S_{MNQP } = S_{PQCD } \Leftrightarrow \frac{x + y}{2}h_{2 } = \frac{y + b}{2}h_{3 } \Rightarrow \frac{h_{2 }}{h_{3 }} = \frac{y + b}{x + y}$ (*)
$\triangle M_{1 }NC \approx \triangle P_{1 }QC \Rightarrow \frac{M_{1 }N}{P_{1 }Q} = \frac{H_{1 }C}{H_{2 }C} \Leftrightarrow \frac{x -b}{y - b} = \frac{h_{2 } + h_{3 }}{h_{3 }} \Leftrightarrow \frac{x - b}{y - b} = \frac{h_{2 }}{h_{3 }} + 1 \Rightarrow \frac{h_{2 }}{h_{3 }} = \frac{x - y}{y -b}$ (**)
От (*) и (**) получавам $\frac{y + b}{x + y} = \frac{x - y}{y - b} \Rightarrow$ $$2y^{2} - x^{2} = b^{2}$$

2)$S_{ABNM } = S_{PQCD } \Leftrightarrow \frac{a + x}{2}h_{1 } = \frac{y + b}{2}h_{3 } \Rightarrow \frac{h_{1 }}{h_{3 }} = \frac{y + b}{a + x}$ (*)
$\triangle A_{1 }BC \approx \triangle P_{1 }QC \Rightarrow \frac{A_{1 }B}{P_{1 }Q} = \frac{HC}{H_{2 }C} \Leftrightarrow \frac{a - b}{y - b} = \frac{h_{1 } + h_{2 } + h_{3 }}{h_{3 }} \Leftrightarrow \frac{a -b}{y -b} = \frac{h_{1 }}{h_{3 }} + \frac{h_{2 }}{h_{3 }} + 1$
Замествам с полученото в т.1) $\frac{h_{2 }}{h_{3 }} = \frac{x - y}{y - b}$, преработвам и получавам $\frac{h_{1 }}{h_{3 }} = \frac{a - x}{y - b}$(**)
От (*) и (**) получавам $\frac{y + b}{a + x} = \frac{a - x}{y -b} \Rightarrow$ $$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$$
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}\\2y^{2} - x^{2} = b^{2} \end{array}[/tex] ,решавам системата и получавам $y^{2} = \frac{a^{2} + 2b^{2}}{3} , x^{2} = \frac{2a^{2} + b^{2}}{3} \Rightarrow $ $$y = \sqrt{\frac{a^{2} + 2b^{2}}{3}} , x = \sqrt{\frac{2a^{2} + b^{2}}{3}} $$

[KOPMOPAH]

Задачи за трапец - 3 задача.png (8.5 KiB) Прегледано 966 пъти

Може да се реши и с лица, например така:

Продължаваме бедрата до пресичането им в т.$E$.
Обозначаваме лицето на $\triangle CDE$ с $S_1$, а на трапеца - с $S$. Тогава лицата на трапеците $ABIG$, $GIHF$ и $FHCD$ са $\frac S3$.
От подобието на триъгълниците $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$ следва $$\frac{S+S_1}{S_1}=\frac {a^2}{b^2}\Rightarrow S_1=S\frac {b^2}{a^2-b^2}$$
От подобието на триъгълниците $\triangle FHE$ и $\triangle DCE$ следва $$\frac{\displaystyle \frac S3+S_1}{S_1}=\frac {x^2}{b^2}\Rightarrow \frac{\displaystyle \frac S3+S\frac {b^2}{a^2-b^2}}{\displaystyle S\frac {b^2}{a^2-b^2}}=\frac {x^2}{b^2}$$
След извършване на действията получаваме:$$x^2=\frac{a^2+2b^2}3\Rightarrow x=\sqrt{\frac{a^2+2b^2}3}$$
Раглеждайки подобието на триъгълниците $\triangle GIE$ и $\triangle DCE$ по същата логика получаваме $$y=\sqrt{\frac{2a^2+b^2}3}$$