Задачки

[baroveca]

1-Нека [tex]f(x)=x^2+(2a-1)x-3[/tex] и [tex]g(x)=x^2+(a-2)x-1[/tex], където а е реален параметър.Да се намерят всички стойности на а, за които корените на уравненията [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] са разположени така,че между двата корена на едното има точно един корен на другото.

2-В триъгълник АВС е известно,че [tex]2\angle BAC+3\angle ABC=180^\circ[/tex].Докажете,че [tex]4(BC+CA)\le 5AB[/tex]

[dim]

1) Параболите на двете функции са обърнати с върха надолу понеже коефициентите пред [tex]x^2[/tex] са [tex]>0[/tex]. За да е изпълнено условието пресечната точка на двете параболи трябва да се намира под оста [tex]Ox[/tex] и разбира се [tex]f(x)=0[/tex]и [tex]g(x)=0[/tex] трябва да имат реални корени.
Ординатата на общата точка намираме от у-то [tex]f(x)=g(x)[/tex], [tex]x=\frac{2}{a+1}[/tex]. Сага абцисата трябва да е отеицателна, т.е [tex]f(\frac{2}{a+1})<0[/tex] (или [tex]g(\frac{2}{a+1})<0[/tex]). Сега това трябва да се засече с [tex]D_{f,g}> 0[/tex].

[dim]

2) Понеже [tex]\frac{a+b}{c}=\frac{cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}}{cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}}[/tex], и имайки впредвид че: [tex]2\alpha +3\beta =2\pi[/tex], задачата се свежда до доказване на неравнеството:[tex]\frac{cos{\frac{2\pi -5\beta }{4}}}{cos{\frac{2 \pi -\beta }{4}}}\le \frac{5}{4}[/tex]<=>[tex]\frac{sin{\frac{5\beta }{4}}}{sin{\frac{\beta }{4}}}\le \frac{5}{4}[/tex]

[Станислав]

Да

[baroveca]

Може ли да ми покажете как се решават подробно,че с тия параметри съм малко на Вие.Може ли подробно да ми покажете първа задача и да ми обясни някой теорията за разположение корените на квадратно уравнение.Например ако ни е дадена задача да определим ст-стите на параметъра,за които между корените на едното уравнение има един корен на другото и примери. Ще съм ви много благодарен, защото усърдно се подготвам за олимпиадата по математика. Благодаря ви предварително.