разположение на корените на квадратния тричлен

[luflee]

Здравейте,трябва да направя поправка на контролното по математика(на което имам 3) и ми е много трудно,понеже не разбирам съвсем материала.Моля ви да ми кажете решенията на някои от тези задачи: http://www.prikachi.com/images/529/3359529z.jpg Утре ще правя и контролно на това,а не ги разбирам...

[strangerforever]

[tex]x^4 - px^2 - 2p = 0[/tex]

Това е биквадратно уравнение и искаме да няма решения. За да е така, е нужно след полагане на [tex]x^2[/tex], новополученото уравнение да е или с отрицателна дискриминанта, или корените му да са отрицателни.

[tex]t = x^2 \ge 0[/tex]

[tex]t^2 - pt - 2p = 0[/tex]

Нека първо [tex]D < 0[/tex]:

[tex]p^2 + 8p < 0[/tex]
[tex]p \in (-8;0)[/tex]

Нека сега [tex]D \ge 0[/tex], а корените - отрицателни. Нужно е [tex]\frac{c}{a} > 0[/tex] и [tex]-\frac{b}{a} < 0[/tex]. Първото (от Виет) ограничава корените да са с еднакъв знак, а второто - този знак да е минус. Решаваме системата:

[tex]p^2 + 8p \ge 0[/tex]
[tex]-2p > 0[/tex]
[tex]p < 0[/tex]

Последните две са еквивалентни. На първото решенията са [tex]p \in (-\infty; -8] \cup [0;\infty)[/tex], a на 2рото и 3тото - [tex]p \in (-\infty;0)[/tex], пресичаме ги и получаваме p[tex]\in (-\infty; -8][/tex]

Обединяваме с първия случай.

Отговор: [tex]p \in (-\infty ;0)[/tex]

[kerry]

На първата задача подусловие а) може да се реши с дискриминанти и различни случаи. Но този начин ми допада повече.

[tex]f(-1)[/tex] и [tex]f(0)[/tex] трябва да са с различни знаци
и
[tex]f(0)[/tex] и [tex]f(2)[/tex] трябва да са с еднакви знаци.

[tex]\left| \begin{matrix}
f(-1).f(0)<0 \\ f(0).f(2)>0
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]p<-\frac{4}{3}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

1 . б) 1 сл. [tex]p-1>0 \cap D<0[/tex] тогава всяко x ще е решение т.е. и всяко [tex]x\ge -1[/tex]
2 сл. [tex]p=1[/tex]
[tex]F(x)=-2x-3[/tex]
кога [tex]F(x)>0[/tex]
[tex]-2x-3>0 ===> x<-3/2 ===> p=1[/tex] не е решение
3 сл. [tex]p-1>0[/tex]
[tex]D\ge 0[/tex]
[tex]Xo<-1[/tex]
[tex]F(-1) >0[/tex]
по 3 случай мисля,че може да се разгледа така както съм го написал т.е.[tex]D\ge 0[/tex] тъй като и да е =0 ,то ако този единствен корен е след -1 би трябвало тази стойност,за която [tex]D>0[/tex] да отпадне ... Някой да ме поправи ,ако греша

[kerry]

Когато p<1 имаме парабола с "клоните" надолу. Няма решение.

Когато p=1 имаме намаляваща функция (права линия). Няма решение.

Остава да проверим при p>1. Тогава дискриминантата [tex]D=4p^2-3[/tex] е положителна
и минимумът на функцията е при [tex]x=\frac{p}{p-1}=1+\frac{1}{p-1}>1[/tex]
Значи единият корен винаги е по-голям от 1, а следователно и от -1. И в този случай няма решение.

[Mr.G{}{}Fy]

Когато p<1 имаме парабола с "клоните" надолу. Няма решение.

Когато p=1 имаме намаляваща функция (права линия). Няма решение.

Остава да проверим при p>1. Тогава дискриминантата [tex]D=4p^2-3[/tex] е положителна
и минимумът на функцията е при [tex]x=\frac{p}{p-1}=1+\frac{1}{p-1}>1[/tex]
Значи единият корен винаги е по-голям от 1, а следователно и от -1. И в този случай няма решение.

Да,но аз не съм решавал конкретната задача и затова дадох "универсално" решение