задача с трапец за 10-ти клас

[Chamillinator__]

Трите страни на трапец са равни. Лицето е 8, а два от ъглите са 30°. Да се намерят страните на трапеца.

[ева]

ABCD-равноб.трапец,нека т.Н,т.М лежат на АВ така,че DH[tex]\bot[/tex]AB , CM[tex]\bot[/tex]AB;AD=BC=CD=b,AB=a,[tex]\angle[/tex]BAD=30[tex]^\circ[/tex],S(ABCD)=8
AB=? AD=?
[tex]\triangle[/tex]AHD-правоъг.с [tex]\angle[/tex]30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]DH=[tex]\frac{AD}{2}[/tex] т.е. DH=[tex]\frac{b}{2}[/tex];Питагор [tex]AH^{2}[/tex]+[tex]DH^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AH=[tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex]
AB=AH+HM+MB ; a=2.[tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex]+b [tex]\Rightarrow[/tex] a=b(1+[tex]\sqrt{3}[/tex]) (1) [Търсим още 1 ур-е]
[tex]\frac{(a+b)DH}{2}[/tex]=S ; [tex]\frac{b(1+\sqrt{3})+b}{2}[/tex].[tex]\frac{b}{2}[/tex]=8 ; [tex]b^{2}[/tex](2+[tex]\sqrt{3}[/tex])=32 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b^{2}[/tex]=[tex]\frac{32}{2+\sqrt{3}}[/tex].[tex]\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}[/tex]=[tex]\frac{16.2(2-\sqrt{3})}{4-3}[/tex]
b=4[tex]\sqrt{4-2\sqrt{3}}[/tex]=4[tex]\sqrt{4-\sqrt{12}}[/tex]=(прилагаме формула) 4([tex]\sqrt{\frac{4+\sqrt{16-12}}{2}}[/tex]-[tex]\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-12}}{2}}[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] b=4([tex]\sqrt{3}[/tex]-1) зам.в (1)
а=4([tex]\sqrt{3}[/tex]-1)([tex]\sqrt{3}[/tex]+1)=4(3-1) т.е. а=8

отг.AB=8;AD=BC=CD=4([tex]\sqrt{3}[/tex]-1)