задача с успоредник за 10-ти клас

[Chamillinator__]

Страните на успоредник са 1 и 3, а ъгълът между диагоналите е 45°. Да се намери лицето.

[amsara]

Сигурно се решава с тригонометрия, ама там не мога да помогна, шото още не сме учили нищо от нея. Обаче успях да намеря лицето на успоредника с други неща от седмокласен(еднакви триъгълници), осмокласен материал(системи и квадратни уравнения) и Питагорова теорема.Нямам идея дали такова решение ще ти свърши някаква работа изобщо, ама го пускам все пак.Сигурно е супер дървено, ама все пак получавам някакъв отговор, да се надявам, че е верен.

Hека успоредникът е ABCD. AB=CD=3cm; BC=AD=1 cm
O е пресечната точка на диагоналите.<AOB=<BOC=45°
Спускаме перпендикуляри от А и С към диагонала BD.Нека петите на тези перпендикуляри означим с M и N.
AM=CN=h
Но получените правъгълни триъгълници са равнобедрени
=>MO=ON=h; Нека NB=m
[tex]| h^2+m^2=1[/tex]
[tex]| (2h+m)^2+h^2=9[/tex]

[tex]| 5h^2+4hm+m^2=9[/tex]
[tex]| h^2+m^2=1[/tex]

Изваждаме ги почленно.

[tex]4h^2+4hm=8 <=> h^2+hm=2 <=>m=\frac{2-h^2}{ h}[/tex]

=>[tex](\frac{2-h^2}{h })^2+h^2 =1[/tex]
[tex]2h^4-5h^2+4=0[/tex]
[tex]h<1[/tex], защото е катет в правоъгълен триъгълник с хипотенуза 1 см.
[tex]h^2=a[/tex]
[tex]2a^2-5a+4=0[/tex]
[tex]a=2; a=\frac{1}{ 2}[/tex]
[tex]y^2=2 => y=\pm \sqrt{2}[/tex]. Нито една от тези две стойности не върши работа.Едната е отрицателна и не може да е дължина на отсечка, а другата не принадлежи на ДМ.
=>[tex]h^2=\frac{1}{ 2} <=>h= \frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex]
[tex]m=\frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex]
▲[tex]OBM[/tex]равнобедрен и правоъгълен.
=>[tex]S na OBC= \frac{1.1}{ 2}=\frac{1}{ 2}[/tex]
[tex]S na ABCD=4.\frac{1}{2 }=2 cm^2[/tex]

[caelum]

O е пресечната точка на диагоналите.<AOB=<BOC=45°

не съм чел цялото решение, но AOB=COD - връхни са. Другите имат сбор 180


Решава се и с тригонометрия - приложи косинусова зa AОB и BOC, като си означиш половинките на диагоналите с х и у. Вадиш почленно, квадратите падат и си изразяваш произведението на х и у. После използваш, че S=d1.d2.sin45/2

[amsara]

Грешката е чисто техническа, написала съм грешната буква. Но решението си е съвсем правилно, поне според мен.
По-дълго и тромаво е със сигурност,но за осмокласник толкова. Пък и аз още в самото начало на поста си казах, че в училище още не сме учили никаква тригонометрия и затова просто му пускам друго решение.

[Chamillinator__]

Може ли да ми обясниш по-точно почленното изваждане в детайли, че не ми се получава нещо? Иначе идеята я хванах.

[ganka simeonova]

Сигурно се решава с тригонометрия, ама там не мога да помогна, шото още не сме учили нищо от нея. Обаче успях да намеря лицето на успоредника с други неща от седмокласен(еднакви триъгълници), осмокласен материал(системи и квадратни уравнения) и Питагорова теорема.Нямам идея дали такова решение ще ти свърши някаква работа изобщо, ама го пускам все пак.Сигурно е супер дървено, ама все пак получавам някакъв отговор, да се надявам, че е верен.

Hека успоредникът е ABCD. AB=CD=3cm; BC=AD=1 cm
O е пресечната точка на диагоналите.<AOB=<BOC=45°
Спускаме перпендикуляри от А и С към диагонала BD.Нека петите на тези перпендикуляри означим с M и N.
AM=CN=h
Но получените правъгълни триъгълници са равнобедрени
=>MO=ON=h; Нека NB=m
[tex]| h^2+m^2=1[/tex]
[tex]| (2h+m)^2+h^2=9[/tex]

[tex]| 5h^2+4hm+m^2=9[/tex]
[tex]| h^2+m^2=1[/tex]

Изваждаме ги почленно.

[tex]4h^2+4hm=8 <=> h^2+hm=2 <=>m=\frac{2-h^2}{ h}[/tex]

=>[tex](\frac{2-h^2}{h })^2+h^2 =1[/tex]
[tex]2h^4-5h^2+4=0[/tex]
[tex]h<1[/tex], защото е катет в правоъгълен триъгълник с хипотенуза 1 см.
[tex]h^2=a[/tex]
[tex]2a^2-5a+4=0[/tex]
[tex]a=2; a=\frac{1}{ 2}[/tex]
[tex]y^2=2 => y=\pm \sqrt{2}[/tex]. Нито една от тези две стойности не върши работа.Едната е отрицателна и не може да е дължина на отсечка, а другата не принадлежи на ДМ.
=>[tex]h^2=\frac{1}{ 2} <=>h= \frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex]
[tex]m=\frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex]
▲[tex]OBM[/tex]равнобедрен и правоъгълен.
=>[tex]S na OBC= \frac{1.1}{ 2}=\frac{1}{ 2}[/tex]
[tex]S na ABCD=4.\frac{1}{2 }=2 cm^2[/tex]

Сара, момиче, ти дори и да не си учила тригонометрия, подобни триъгълници и пр., винаги си пускала чудесни решения:)
И то, защото си математик:)
Не е нужно човек да знае тригонометрия, за да реши задачата, трябва да е математик, за да я направи:)
Чудесна си! Продължавай все така

[ganka simeonova]

Осве това, за разлика от много други, пищещи в този форум и много пъти даващи само отговори, ти обясняваш идеално и разбираемо