Доказателство на едно неравенство

[sonq234]

Да се докаже, че за всеки остроъгален триъгълник е изпълнено неравенството: tg^2 α +tg^2 β + tg^2 γ [tex]\ge[/tex] 9

[inveidar]

Тъй като тангенсът е изпъкнала функция в интервала [tex](0;\frac{\pi }{ 2})[/tex], то
[tex]\frac{tg\alpha +tg\beta +tg\gamma }{ 3} \ge tg(\frac{\alpha+\beta+\gamma }{ 3})=\sqrt{3}[/tex].
От неравенството между средно квадратично и средно аритметично на три числа пък
[tex]\frac{a+b+c}{3 }\le \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ 3} }[/tex](Доказва се лесно с повдигане на втора степен, прехвърляне на всичко от дясно и представяне като сбор на три квадрата. Ако лявата страна е отрицателна, то неравенството е очевидно и не се налага да повдигате на втора степен!)
следва, че [tex]\sqrt{3}\le \frac{tg\alpha +tg\beta +tg\gamma }{ 3}\le \sqrt{\frac{tg^{2}\alpha+tg^{2}\beta+tg^{2}\gamma }{3 } }[/tex], т.е.
[tex]\sqrt{3}\le \sqrt{\frac{tg^{2}\alpha+tg^{2}\beta+tg^{2}\gamma }{3 } }[/tex]. Повдигаме на втора степен и сме готови. Равенството се достига когато ъглите са равни, т.е триъгълникът е равностранен.

[dim]

Решението ти е хубаво. Неравенството на Йенсен, което използваш в началто е далеч от 10-ти клас. За него трябват производни. Дали може да се реши без него? И на мен това решение ми хрумна в първия момент, но после реших, че за 10-ти клас трябва да е нещо по геометрично-тригонометрично + неравенства на средните. Мислех да се пробвам, но открих, че съм си изгубил формулите и ме домързя

[brasilo2]

Здравейте аз имам подобна задача (същата ) и имам упътването:
[tex]\frac{1}{cos\alpha } +\frac{1}{cos\beta } +\frac{1}{cos\gamma } \ge 6[/tex]
но оттук натам идея нямам

[sonq234]

mersi mnogo inveidar