рационални неравенства

[geizer]

Нещо сериозно зациклих на следните 2 задачи - 1. Докажете че за всяко реално x са изпълнени неравенствата [tex]\frac{5}{2 }[/tex] ≤[tex]\frac{20x^2+10x+3}{x^2+x+1 }[/tex] ≤7
2. Намерете най малката стойност на а и най голямата стойност на в , за които неравенствата
b≤[tex]\frac{2x^2-x+2}{x^2+1 }[/tex] ≤a са изпълнени за всяко x
Ще съм много благодарна ако някой ми помогне с тези задачи. Мене ме интересува по-скоро да схвана начина по който се решават задачите от този тип, така че ще помоля за малко обяснение към решението. Мерси предварително

[geizer]

никой ли няма представа как се решават тези задачи, Помогнете моля ви

[inveidar]

За първата. Това са две неравенства, нали? Взимаш дясното, например, умножаваш на кръст, прехвърляш всичко в лявата страна и правиш приведение. Получаваш [tex]13x^{2}+3x-4\le 0[/tex], което очевидно не е изпълнено за всяко хикс, защото дискриминантата му е положителна(можеш да умножиш на кръст, защото знаменателят ти е положителен винаги!), което пък означава, че задачата ти е объркана! Виж някой знак или число да не е грешно преписано!

[geizer]

и аз стигнах до този извод като дадох произволни стойности на х. Проверих я задачата, но явно в учебника има грешка. За втората задача сещаш ли се нещо, аз я докарах чрез графично решаване. Дадох произволни стойности на х и построих графиката на цялата функция. Получи се една вълнообразна над ординатата. Оттам видях че локалният минимум и максимум са при х=-1 и 1 . Оттам вече изкарах минималните и маскимални стойности на функцията които са ми а и в . И отговорите съвпадат, ама това графично решение ми е много съмнително. някой има ли по добра идея как да стане.

[inveidar]

За втората пак така. Взимаш дясното първо, умножаваш на кръст и получаваш
[tex](2-a)x^{2}-x+2-a\le 0[/tex] (1). Нека а е различно от 2.
За да е изпълнено това квадратно неравенство за всяко а е необходимо и достатъчно да е изпълнено следното:
[tex]D\le 0,2-a<0[/tex]. Решаваш тези две неравенства и ги засичаш, защото те трябва да са изпълнени едновременно. Ще получиш някакъв интервал, на който трябва да вземеш левия край за търсената стойност на а.
Ако а е равно на 2, заместваш в (1) и получаваш [tex]x\ge 0[/tex], което очевидно не е изпълнено за всяко хикс, т.е този случай отпада. След това по същия начин постъпваш и с дясното неравенство. Ако имаш въпроси - питай.

[geizer]

Мерси много, получи се.