Лице равнобедрен триъгълник

[uchenik75]

Да се намери лицето на равнобедрен ▲АВС(АС=ВС) със страна c и радиус на вп. окр r. За отговор е дадено: c.c.c.r:(c.c - 4r.r)
Ако някой може да ми помогне ще съм му благодарен, пробвах с различни формули за лице,но за сега не го докарвам

[Martin Nikovski]

Нека [tex]\angle BAC=\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AOH[/tex], където [tex]O[/tex] е център на вписаната окръжност, а [tex]H[/tex] е средата на [tex]AB[/tex]
и съответно петата на перпендикуляра, спуснат от [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex].
[tex]O[/tex] - център на вписаната окръжност. [tex]\Rightarrow\ AO[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BAC[/tex].
Следователно [tex]\angle OAH=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]CH[/tex] - височина, медиана и ъглополовяща. [tex]\Rightarrow\ AH=\frac{1}{2 } AB=\frac{c}{2 }[/tex]
[tex]tg\angle OAH=\frac{OH}{AH } \ \Rightarrow\ tg\frac{\alpha }{2 } =\frac{r}{\frac{c}{2 } }=\frac{2r}{c }[/tex]
Използваме, че [tex]tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}[/tex]
[tex]\frac{2r}{c } =\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}[/tex] [tex]|^2[/tex]
[tex]\frac{4r^2}{c^2 } =\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}\ \Rightarrow\ 4r^2+4r^2cos\alpha =c^2-c^2cos\alpha[/tex]
[tex]\fbox{cos\alpha=\frac{c^2-4r^2}{c^2+4r^2 }}[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AHC[/tex] ([tex]\angle AHC=90^\circ[/tex]):
[tex]cos\angle HAC=\frac{AH}{AC } \ \Rightarrow\ cos\alpha =\frac{\frac{c}{2 } }{a }=\frac{c}{2a }[/tex]
[tex]\frac{c^2-4r^2}{c^2+4r^2 }=\frac{c}{2a }\ \Rightarrow\ a=\frac{c}{2}.\frac{c^2+4r^2}{c^2-4r^2}[/tex]
[tex]p=\frac{2a+c}{2 }=a+\frac{c}{2}=\frac{c}{2}.\frac{c^2+4r^2}{c^2-4r^2}+\frac{c}{2}=\frac{c}{2}\left(\frac{c^2+4r^2}{c^2-4r^2}+1\right)=\frac{c}{2}.\frac{c^2+\cancel{4r^2}+c^2-\cancel{4r^2}}{c^2-4r^2}[/tex]
[tex]p=\frac{c}{\cancel2}.\frac{\cancel 2c^2}{c^2-4r^2}=\frac{c^3}{c^2-4r^2 }[/tex]
[tex]S=pr=\frac{c^3r}{c^2-4r^2 }[/tex]

[uchenik75]

Мерси мн