Отношение на лица

[eleonoRRa]

Здравейте,търся спешна помощ за следната задача :

Върху страните AB,BC,CD,AD на (изпъкнал) четириъгълник ABCD са взети съотвтно точките M,N,P И Q така, че AM:MB=BN:NC=CP:PD=DQ:QA=1:2.Да се намери отношението на лицата на четириъгълниците MNPQ и ABCD.

oтг:5:9

[Евва]

ABCD-изпъкнал четириъгълник ,нека т.Т и т.Е са среди съответно на отсечките AQ и MB .
МТ е средна отс. в [tex]\triangle[/tex]AEQ , a EQ е средна отс. в трапеца MBDT [tex]\Rightarrow[/tex] МТ||BD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AMT[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABD [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{AM^{2}}{AB^{2}}[/tex]=[tex]\frac{S_{AMT }}{S_{ABD }}[/tex] ; [tex]\frac{AM^{2}}{(3AM)^{2}}[/tex]=[tex]\frac{S_{AMT }}{S_{ABD }}[/tex] ; [tex]S_{AMT }[/tex]=[tex]\frac{S_{ABD }}{9}[/tex]
MT е медиана в [tex]\triangle[/tex]AMQ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AMQ }[/tex]=2[tex]S_{AMT }[/tex]=[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{ABD }[/tex]
По същия начин доказваме,че [tex]S_{MBN }[/tex]=[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{ABC }[/tex] ; [tex]S_{NCP }[/tex]=[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{BCD }[/tex] ; [tex]S_{QPD }[/tex]=[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{ACD }[/tex]
[ [tex]S_{AMQ }[/tex]+[tex]S_{MBN }[/tex]+[tex]S_{NCP }[/tex]+[tex]S_{QPD }[/tex] ] +[tex]S_{MNPQ }[/tex]=[tex]S_{ABCD }[/tex]

[ [tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{ABD }[/tex]+[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{ABC }[/tex]+[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{BCD }[/tex]+[tex]\frac{2}{9}[/tex][tex]S_{ACD }[/tex] ] + [tex]S_{MNPQ }[/tex]=[tex]S_{ABCD }[/tex]

[tex]\frac{2}{9}[/tex].2[tex]S_{ABCD }[/tex]+[tex]S_{MNPQ }[/tex]=[tex]S_{ABCD }[/tex]

[tex]S_{MNPQ }[/tex]=[tex]\frac{5}{9}[/tex][tex]S_{ABCD }[/tex]

[tex]\frac{S_{MNPQ }}{S_{ABCD }}[/tex]=[tex]\frac{5}{9}[/tex]