Намерете хипотенузата

[violetki123]

Центърът на окръжността, вписана в правоъгълен триъгълник, се намира на разстояние √5 и √10 от краищата на хипотенузата. Намерете хипотенузата.

[anto]

Означи допирната точка с хипотенузата с М, тази с АС - с т.Р, а тази с ВС - с т. Д. Използвай това, че допирателните са равни. Означавам отсечките АМ= х, АВ= у. Тогава и АР=х, а ВД=у. Двете допирателни при върха са равни на радиуса, т.к. там се получава квадрат /ОРСД/.
Следователно единият катет е АС = АР+РС /х+ r/, другият е ВС= ВД+СД /у+r/, а хипотенузата е АВ= АМ+МВ /х+у/.
От правоъгълните триъгълници, които се получават в точките на допиране, можем да намерим чрез питагоровата теорема, че:
/х+ r/на квадрат = 5 и /у+r/на квадрат = 10.
Тогава прилагаш питагоровата теорема и за триъгълника АВС.
АС /х+ r/на квадрат + ВС/у+r/ на квадрат = АВ/х+у/на квадрат.
Но ние знаем, че /х+ r/на квадрат = 5 и /у+r/на квадрат = 10.
Следователно хипотенузата на квадрат е 15 см или на първа степен √15.