2 задачи от четириъгълник

[uchenik75]

1-ва зад: Отсечките, съединяващи средите на двойките срещуположни страни в четириъгълник са p и q (p≠q), а ъгълът между диагоналите на четириъгълника е α. Да се намери лицето му. Отг. 0,5|p^2-q^2|tgα

2-ра зад: Диагоналите на четириъгълник са m и n (m≠n), а ъгълът между отсечките, съединяващи средите на двойките срещуположни страни е β. Да се намери лицето му. Отг 0,25(m^2-n^2)tgβ

Двете задачи си приличат доста, според мен трябва да удължа някой от диагоналите, но все още не съм я докарал докрай. Ще съм благодарен на малко помощ

[kleopatra]

1.
Новополученият четириъгълник NSMP е успоредник (SM,PM,PN,NS-средни отсечки). Отбележи си страните на NSMP с а и b . Ъгълът м/у диагоналите на ABCD се явява равен на един от ъглите на успоредника NSMP(получава се един малък успоредник, а срещуположните ъгли във всеки успоредник са равни).След това се използва косинусова Т :
p^2=a^2+b^2-2.a.b.cosa (1) /^-на квадрат/
После използваш, че
2.а^2+2.b^2=d1^2+d2^2 (ф-ла зНека ABCD ти е произволния четириъгълник. Tочка N лежи на AB, т.S-на BC, т.M на DC,т.P-на AD.
а връзката м/ду страните и диагоналите на успоредника-в случая d1 и d2 са ти p и q) От тук изразяваш а^2+b^2 и заместваш горе в (1), за да получиш a.b
След това намираш лицето на усп.NSMP като умножаваш със sina . От друга страна, лицето на NSMP e ½ oт това на ABCD (доказва се лесно).