Тригонометрични равенства

[mitko_ivanov93]

Тригонометрични равенства

[martin123456]

д)
[tex]tg\frac{a}{2}+ctg\frac{a}{2}=\frac{\sin{\frac{a}{2}}}{\cos{\frac{a}{2}}}+\frac{\cos{\frac{a}{2}}}{\sin{\frac{a}{2}}}=\frac{sin^2{\frac{a}{2}}+sin^2{\frac{a}{2}}}{\cos{\frac{a}{2}}\sin{\frac{a}{2}}}=\frac{1}{\frac{\sin{a}}{2}}=\frac{2}{\sin{a}}[/tex]

[martin123456]

е)
[tex]tg\frac{a}{2}-ctg\frac{a}{2}=\frac{\sin{\frac{a}{2}}}{\cos{\frac{a}{2}}}-\frac{\cos{\frac{a}{2}}}{\sin{\frac{a}{2}}}=\frac{sin^2{\frac{a}{2}}-sin^2{\frac{a}{2}}}{\cos{\frac{a}{2}}\sin{\frac{a}{2}}}=\frac{-\cos{a}}{\frac{\sin{a}}{2}}=-2ctga[/tex]

[martin123456]

ж)
[tex]\sin{3a}-\sin{a}=3\sin{a}-4\sin^3{a}-\sin{a}=2\sin{a}-4\sin^3{a}=2\sin{a}(1-2\sin^2{a})=2\sin{a}\cos{2a}[/tex]

[martin123456]

з)
числител = [tex]2\cos^2{a}-1 + 2\cos^2{2a}-1=2\cos^2{a}-1+2(2\cos^2{a}-1)^2-1[/tex]. ако положим [tex]y=2\cos^2a-1[/tex] получаваме квадратен израз [tex]2y^2+y-1[/tex] с дискриминанта [tex]D=9[/tex] и корени [tex]y_1=-1[/tex], [tex]y_2=\frac{1}{2}[/tex]. значи числителят се разлага като [tex](2\cos^2a-1+1)(2\cos^2a-1-\frac{1}{2})=\cos^2{a}(4\cos^2{a}-3)[/tex]. като го разделим на знаменателя и използваме формулата за 3н ъгъл следва

[martin123456]

г)
[tex]\frac{\sin^2{3a}\cos^2{a}-\cos^2{3a}\sin^2{a}}{\sin^2{a}\cos^2{a}}=\frac{(\sin3a\cos{a}-\cos{3a}\sin{a})(\sin3a\cos{a}+\cos{3a}\sin{a})}{\sin^2{a}\cos^2{a}}=\frac{\sin{2a}\sin{4a}}{\sin^2{a}\cos^2{a}}=[/tex][tex]\frac{2\cos{a}\sin{a}2\sin{2a}\cos{2a}}{\sin^2{a}\cos^2{a}}=\frac{8\cos^2{a}\sin^2{a}\cos{2a}}{\sin^2{a}\cos^2{a}}[/tex]

[martin123456]

в)
[tex]\frac{\sin{3a}\cos{a}-\sin{a}\cos{3a}}{\sin{a}\cos{a}}=\frac{\sin{2a}}{\sin{a}\cos{a}}=\frac{2\sin{a}\cos{a}}{\sin{a}\cos{a}}=2[/tex]