Неравенство x^2-2.k.x+6 > 0

[kleopatra]

За кои стойности на K неравенството е изпълнено за вс. x ≤-2

x^2-2.k.x+6≥0

Мн ще се радвам, ако може някой да ми обясни как се решава зад-та
Може решението да вкл и материал от началото на 11кл

[ptj]

http://www.solemabg.com/Lessons/Koreni%20KUN.pdf

Това е доста добър пищов точно по интересуващата те тема (разпределение на корените).

П.П. Ако е необходимо почни от предната тема (квадратни уравнения и неравенства).
http://www.solemabg.com/Lessons/KUN.pdf
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Иначе с материал за 11 кл. може да използваш първата производна.

[tex]f'(x)=2x-2k[/tex]

1.) Сл. [tex]f'[/tex]е монотонна (строгост заради отворения интервал) в [tex](-\infty;-2)[/tex] , т.е. не си сменя знака.

a.)[tex]\for x \in (-\infty;-2)[/tex] : [tex]f'(x)< 0[/tex] тогава функцията [tex]f(x)=x^2-2kx+6[/tex] е намаляваща,
т.е. [tex]\for x \in (-\infty;-2):[/tex] [tex]f(x)>f(-2)[/tex] .
Понеже всички квадратни функции са и непрекъснати,
исканото в условието на задачата се трансформира в [tex]f(-2)\ge 0[/tex].
Решаваме системата:
[tex]f(-2)=4k+10\ge 0[/tex] <=> [tex]k\ge\frac{-5}{2 }[/tex]
[tex]f'(x)=2x-2k<0[/tex]<=> [tex]x<k[/tex], съобразявайки с [tex]\for x \in (-\infty;-2)[/tex] намираме [tex]k\ge-2[/tex]
Окончателно [tex]k \ge-2[/tex]

б.)[tex]\for x \in (-\infty;-2)[/tex] : [tex]f'(x)> 0[/tex] <=> [tex]2x-2k[/tex]>0 <=> [tex]x>k[/tex] - получава се [tex]k=-\infty[/tex], т.е. невъзможно .


2.)Сл. [tex]f'(x)[/tex] се нулира в някоя (една) точка [tex]x_0[/tex]и сменя знака си , като [tex]x_0\in (-\infty;-2)[/tex]

Понеже [tex]\lim_{x \to -\infty}f'(x)=\lim_{x \to -\infty}(2x-2k)=-\infty-2k=-\infty[/tex],
то единствената възможност е:
[tex]f(x)[/tex] намаля, т.е. [tex]f'(x)<0[/tex], в [tex](-\infty;x_0)[/tex] ;
[tex]f(x)[/tex] расте, т.е. [tex]f'(x)>0[/tex] в [tex](x_0;-2)[/tex].
Mинимума на [tex]f(x)[/tex] ще е точно в точката [tex]x_0[/tex].

Тогава [tex]\for x\in (-\infty;-2)[/tex] : [tex]f(x)\ge0[/tex] <=> [tex]f(x_0)\ge 0[/tex]

[tex]f'(x)=0[/tex] <=> [tex]x=k[/tex]
[tex]f(k)=-k^2+6\ge0[/tex] <=> [tex]k \in[-\sqrt{6};\sqrt{6}][/tex]


Краен (общ) отговор: [tex]x\in [-\sqrt{6};+\infty][/tex]

Забележка: Засичането на 2-та отговора не е проблем, защото 2-рия съответсва на отрицателна дискриминанта, а първия на функционалните стойности за интервала [tex](-\infty;-2)[/tex] от лявата част на параболата (графиката).

[kleopatra]

Мерси мн за линка Наистина ми помогна мн

[Xixibg]

[tex]x^2-2kx+6>0[/tex]
[tex]D=4k^2-24=4(k^2-6)[/tex]
[tex]1.D<0 , k\in (-\sqrt{6};sqrt{6}) =>[/tex] всяко [tex]x[/tex] е решение[tex]=>x\in (-\infty;-2][/tex] е решение
[tex]2.D\ge0 , => k\in (-\infty;-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6};+\infty)[/tex]
[tex]x_1=\frac{2k-\sqrt{D}}{2} ,=> x_1=k-\sqrt{k^2-6} ; x_2=\frac{2k+\sqrt{D}}{2} ,=> x_2=k+\sqrt{k^2-6}[/tex]
[tex]x_2\ge x_1 => x\in (-\infty;x_1]\cup [x_2;+\infty)=>[/tex] решението на задачата е при [tex]x_1\ge -2[/tex]
[tex]=>k-\sqrt{k^2-6}\ge -2 , =>\sqrt{k^2-6}\le k+2 , k+2\ge 0 ,=>DM:k\ge-2[/tex]
[tex]=>k^2-6\le k^2+4k+4 =>4k\ge-10 =>k\ge -\frac{5}{2}[/tex]
[tex]=>k\in [\sqrt{6};+\infty)[/tex]
[tex]1.\cup 2. ,=> k\in [-\sqrt{6};+\infty)[/tex]
Това е решение без производни