Показателно уравнение 7^x+5^x = 12^x

[moted]

7^x+5^x=〖12〗^x
Моля за помощ при решаването на това показателно уравнение.
Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Разделяме у-то на дясната страна. Тогава:

[tex](\frac{7}{12 } )^x+(\frac{5}{ 12} )^x=1[/tex] Ясно е, че х=1 е решение на у-то. Ще докажем, че няма друго.
За целта, да съобразим, че функциите в лявата страна са с основи по-малки от 1=> са намаляващи.
1)Нека [tex]x<1=>(\frac{7}{12 } )^x+(\frac{5}{ 12} )^x>1[/tex]

2)Нека [tex]x>1=>(\frac{7}{12 } )^x+(\frac{5}{ 12} )^x<1[/tex] => и в двата случая не се достига равенство=>х=1 е единственото решение.

[moted]

Не е ли точката х=0 върху абсцисната ос, от която зависи показателната функция дали е по-голяма или по-малка от 1? Така за х<0 - да, стойността на лявата страна наистина е по-голяма от 1. Обаче когата х>0 (независимо дали е по-малко от 1 или по-голямо от 1), според мен не можем да твърдим нищо за лявата част и 1. Може би графично?

[ganka simeonova]

Не е ли точката х=0 върху абсцисната ос, от която зависи показателната функция дали е по-голяма или по-малка от 1? Така за х<0 - да, стойността на лявата страна наистина е по-голяма от 1. Обаче когата х>0 (независимо дали е по-малко от 1 или по-голямо от 1), според мен не можем да твърдим нищо за лявата част и 1. Може би графично?

Нещо не те разбрах. Решението ми е вярно. В случая разглеждаме спрямо 1.

[moted]

Съжалявам, че не отговорих веднага.
Имам предвид, че ако основата на степента е число, което е по-малко от 1 (както в случая), при х>0 стойността на показателната функция е по-малка от 1. Ако обаче съберем две по-малки от 1 числа, то получаваме по-малко от 2 число. Как можем да твърдим, че сбора е по-малък от 1?

[strangerforever]

Съжалявам, че не отговорих веднага.
Имам предвид, че ако основата на степента е число, което е по-малко от 1 (както в случая), при х>0 стойността на показателната функция е по-малка от 1. Ако обаче съберем две по-малки от 1 числа, то получаваме по-малко от 2 число. Как можем да твърдим, че сбора е по-малък от 1?

При [tex]x > 1[/tex]:

[tex](\frac{7}{12})^x < \frac{7}{12}[/tex]

[tex](\frac{5}{12})^x < \frac{5}{12}[/tex]

Събирайки ги получаваме написаното.

[moted]

Сега разбрах.
БЛАГОДАРЯ ВИ! СТРАХОТНИ СТЕ!