Тригнометрия

[zadachki123]

Задачата е следната: Да се докаже, че триъгълник с ъгли ?, ? и ?, е равностранен тогава и само тогава, когато cotg? + cotg? + cotg?=?3 . Много ми е важна задачката. Благодаря предварително!

[skakaletsa]

За равностранен триъгълник (с ъгли 60 градуса) е валидно:
cotg? + cotg? + cotg? = ?3 , защото cotg(pi /3) = ?3/3
Така доказваме условието тогава.

Условието само тогава се доказва като "поразместим"ъглите. В този случай сборът задължително нараства:
cotg? + cotg? + cotg? > ?3

[ganka simeonova]

Мартин е човекът.

[martin123456]

oт косинусова т-ма: [tex]\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]. oт синусова т-ма: [tex]\sin{\alpha}=\frac{a}{2R}[/tex]=>[tex]cotg\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{abc}R[/tex] => [tex]\sum{cotg\alpha}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}R[/tex]. използваме че [tex]abc=4RS[/tex]=>[tex]\sum{cotg\alpha}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}[/tex]. сега използваме изветсното неравенство [tex]a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}S[/tex]. равенство при равностранен триъгълник.