Да се реши системата уравнения:

[iCantPlayPudge]

Да се реши системата уравнения: 3x2–2xy+y2=36 и 5x2–4xy+y2=20

[martosss]

От първото у-е изваждаш почленно второто и получаваш
-2x²+2xy=16 =>
[tex]x\ne 0\Right[/tex](виж какво става ако х=0!)
y=[tex]\frac{x^2+8}{x}[/tex]
И сега заместваш у във едно от първоначалните уравнения.
В случая първото е с по-малки коефициенти, така че избери него!

Получаваш
[tex]3x^2-2x*\frac{x^2+8}{x}+\left(\frac{x^2+8}{x}\right)^2=36[/tex]
След опростяване получаваш
[tex]x^4-18x^2+32=0[/tex]
Това е биквадратно уравнение(имаш само 2-ра и 4-та степен на х, тоест четни степени).
За да го решиш трябва да положиш [tex]x^2=t\ge 0[/tex] и получаваш уравнение
t²-18t+32=0
Това се разлага до
(t-2)(t-16)=0
Оттук t=2 или t=16. И двете са положителни, така че и двете са решения.
Тогава [tex]x=\pm\sqrt{2}\cup x=\pm 4[/tex]
Оттук получаваш и някакви отговори за у.
Така получаваш общо 4 решения за (х,у)-[tex](sqrt 2,5\sqrt 2),(-\sqrt 2,-5\sqrt 2),(4,6),(-4,-6)[/tex]

[mail_dinko]

[tex]\begin{tabular}{|l}3x^2-2xy+y^2=36\\5x^2-4xy+y^2=20 \end{tabular}[/tex]
Полагаме [tex]y=tx[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}3x^2-2x^2t+x^2t^2=36\\5x^2-4x^2t+x^2t^2=20 \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}x^2(3-2t+t^2)=36\\x^2(5-4t+t^2)=20 \end{tabular}[/tex]
Делиш
[tex]\frac{x^2(3-2t+t^2)}{x^2(5-4t+t^2) } =\frac{36}{20 }[/tex]
[tex]DM:x\ne0[/tex]
[tex]\frac{3-2t+t^2}{5-4t+t^2 } =\frac{9}{5 }[/tex]
На кръст
[tex]15-10t+5t^2-45+36t-9t^2=0[/tex]
[tex]-4t^2+26t-30=0|:(-2)[/tex]
[tex]2t^2-13t+15=0[/tex]
[tex]D=169-120=49=7^2[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac{13\pm7}{4}[/tex]
[tex]t_1=5[/tex]
[tex]t_2=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]t_1=5-->y=tx-->y=5x[/tex]
[tex]t_2=\frac{3}{2}--->y=tx--->y=\frac{3x}{2}[/tex]
Нови ситеми
[tex]\begin{tabular}{|l}3x^2-2xy+y^2=36\\y=5x \end{tabular}[/tex]
или
[tex]\begin{tabular}{|l}y=5x\\5x^2-4xy+y^2=20 \end{tabular}[/tex]
Решение [tex](\pm\sqrt{2}; \pm5)[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}3x^2-2xy+y^2=36\\y=\frac{3x}{2} \end{tabular}[/tex]
или
[tex]\begin{tabular}{|l}y=\frac{3x}{2}\\5x^2-4xy+y^2=20 \end{tabular}[/tex]
Решение [tex](\pm4; \pm 6)[/tex]