Тригонометрия - съотношение на лица

[tedkoos]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC(ъгъл C=90 )с остър ъгъл ВАС= α и височина към хипотенузата СD.Отношението на лицата на триъгълници ACD и BCD e:
a)1
б)cotg^2 α
в)cotgα
г)tgα
д)tg^2 α

[MOPKOBKA]

Използвайки общоприетите обозначения
[tex]AC=b, AD=b.cos\alpha, CD=b.sin\alpha, BC=b.tg\alpha, BD=b.tg\alpha.sin\alpha[/tex]
Лицата са съответно
[tex]S_{ACD} =\frac{b^2.sin\alpha.cos\alpha}{2 }, S_{BCD} =\frac{b^2.tg\alpha.sin^2\alpha}{2 }[/tex]
[tex]\frac{S_{ACD}}{ S_{BCD}} =\frac{\frac{b^2.sin\alpha.cos\alpha}{2 }}{\frac{b^2.tg\alpha.sin^2\alpha}{2 } }\[/tex], където след съкращаването се получава
[tex]cotg^2\alpha[/tex], т.е. отговор б)
Отговор а) е верен само в един частен случай - когато [tex]\alpha=\frac{ \pi }{ 4}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{S_{\Delta ACD}}{S_{\Delta BCD}}=\frac{\frac{1}{2}AD.CD}{\frac{1}{2}BD.CD}=\frac{AD}{BD}[/tex]

[tex]\Delta ADC \Longrightarrow AD=CDcotg\alpha[/tex]
[tex]\Delta BDC \Longrightarrow BD=CDcotg(90^\circ -\alpha)=CDtg\alpha[/tex]

[tex]\Longrightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{cotg\alpha}{tg\alpha}=cotg^2\alpha[/tex]

[tedkoos]

Благодаря Ви!