Докажете тригонометричните тъждества

[sk95]

Здравейте, търся помощ относно следните примери (265-281)

[ammornil]

265 зад) [tex]\frac{1}{1-tg30^\circ}=3.cos60^\circ+sin60^\circ[/tex]

Ако заместим директно със стойностите на тези функции (които са известни) ще получим вярно числово равенство.
[tex]\frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=3.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{3-\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{3-\sqrt{3}}.\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{3.(3+\sqrt{3})}{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{ \cancel3.(3+\sqrt{3})}{\left, \cancel6 \\ 2 \right,}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex]

аналогични са задачи 266, 267, 268- просто замести стойностите на тригонометричните функции, там и ма само "точни" ъгли.

[sk95]

Благодаря, да имаш някаква идея за 269 и 270 ?

[ammornil]

зад 269) [tex]\sqrt{1+2.sin\alpha.cos\alpha}=sin\alpha+cos\alpha[/tex]

ДМ: [tex]1+2.sin\alpha.cos\alpha\ge 0 \Rightarrow sin(2.\alpha) \ge -1 \Rightarrow \forall \alpha \in \mathbb{R}[/tex]
Понеже задачите са в раздел Тригонометрични функции на остър ъгъл, следва да приемем, че [tex]\alpha \in [0;\frac{\pi}{2}][/tex]

[tex]\sqrt{1+2.sin\alpha.cos\alpha}=\sqrt{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+2.sin\alpha.cos\alpha}=\sqrt{(sin\alpha+cos\alpha)^{2}}=sin\alpha+cos\alpha[/tex], понеже и двете функции са винаги положителни в I квадрант, няма модул.

[ammornil]

зад 270) [tex]\sqrt{1-2.sin\alpha.cos\alpha}=|sin\alpha-cos\alpha|[/tex]

според ДМ на корен квадратен имаме: [tex]1-2.sin\alpha.cos\alpha\ge0 \Rightarrow 2.sin\alpha.cos\alpha \le 1 \Rightarrow \forall \alpha \in R[/tex]
Понеже задачите са в раздел Тригонометрични функции на остър ъгъл, следва да приемем, че [tex]\alpha \in [0;\frac{\pi}{2}][/tex]


[tex]\sqrt{1-2.sin\alpha.cos\alpha}=\sqrt{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha-2.sin\alpha.cos\alpha}=\sqrt{(sin\alpha-cos\alpha)^{2}}=|sin\alpha-cos\alpha|[/tex]

Тук понеже изразът в скобите може да бъде отрицателен имаме модул.

[sk95]

Благодаря за помощта отново, лек ден.

[ammornil]

271 зад) [tex]\frac{tg\alpha.cos\alpha+cotg\alpha.sin\alpha}{1+2.sin\alpha.cos\alpha}=\frac{1}{sin\alpha+cos\alpha}[/tex]

Отново припомням, че в този раздел разглеждаме [tex]\alpha \in [0;\frac{\pi}{2}][/tex]. Нека преобразуваме само лявата страна и се опитаме да стигнем до израза отдясно:

[tex]\frac{tg\alpha.cos\alpha+cotg\alpha.sin\alpha}{1+2.sin\alpha.cos\alpha}=\frac{\frac{sin\alpha}{\cancel{cos\alpha}}.\cancel{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{\cancel{sin\alpha}}.\cancel{sin\alpha}}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+2.sin\alpha.cos\alpha}=\frac{\cancel{sin\alpha+cos\alpha}}{(sin\alpha+cos\alpha)^{\cancel{2}}}=\frac{1}{sin\alpha+cos\alpha}[/tex]

[ammornil]

272 зад) [tex]\frac{sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha}{sin\alpha+cos\alpha}=1+sin\alpha.cos\alpha[/tex] [tex]; \alpha \in [0;\frac{\pi}{2}][/tex]

[tex]\frac{sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha}{sin\alpha+cos\alpha}=\frac{\cancel{(sin\alpha+cos\alpha)}.(sin^{2}\alpha+sin\alpha.cos\alpha+cos^{2}\alpha)}{\cancel{sin\alpha+cos\alpha}}=sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+sin\alpha.cos\alpha=1+sin\alpha.cos\alpha[/tex]