Тригонометрия sin(60+a) = ?

[tedkoos]

Моля дя покажете как се решават тези задачи с помощта на тригонометрична оклъжност

1.Ако α е остър ъгъл,то sin(60+α) =
a)cos(30+a)
б)sin (120-a)
c)cos(120-a)
d)-cos(120-a)
e)sin(150-a)

2.Ако 0°<a<45°,то cos(45+a) =
a)sin(90+a)
b)cos(90+a)
c)sin(135+a)
d)cos(135+a)
e)sin(135-a)

[ammornil]

[tex]sin(60^\circ+\alpha)=sin60^\circ.cos\alpha+cos60^\circ.sin\alpha[/tex]

Проверяваме връзката между тригонометричните функции на дадения ъгъл и изброените в отговорите.

Понеже: [tex]sin30^\circ=sin(90^\circ-60^\circ)=cos60^\circ[/tex] и [tex]cos30^\circ=cos(90^\circ-60^\circ)=sin60^\circ[/tex]
след заместване горе получаваме:
[tex]sin(60^\circ+\alpha)=sin60^\circ.cos\alpha+cos60^\circ.sin\alpha=cos30^\circ.cos\alpha+sin30^\circ.sin\alpha=cos(30^\circ-\alpha)[/tex] намя такъв отговор сред изброените

Понеже: [tex]sin120^\circ=sin(180^\circ-60^\circ)=sin60^\circ[/tex] и [tex]cos120^\circ=cos(180^\circ-60^\circ)=-cos60^\circ[/tex]
след заместване горе получаваме:
[tex]sin(60^\circ+\alpha)=sin60^\circ.cos\alpha+cos60^\circ.sin\alpha=sin120^\circ.cos\alpha-cos120^\circ.sin\alpha=sin(120^\circ-\alpha)[/tex] [tex]\Longrightarrow[/tex] -> (б)

Понеже: [tex]sin150^\circ=sin(90^\circ+60^\circ)=cos60^\circ[/tex] и [tex]cos150^\circ=cos(90^\circ+60^\circ)=-sin60^\circ[/tex]
след заместване горе получаваме:
[tex]sin(60^\circ+\alpha)=sin60^\circ.cos\alpha+cos60^\circ.sin\alpha=-cos150^\circ.cos\alpha+sin150^\circ.sin\alpha=[/tex]
[tex]=-(cos150^\circ.cos\alpha-sin150^\circ.sin\alpha)=-cos(150^\circ+\alpha)[/tex] намя такъв отговор сред изброените

[tex]\Longrightarrow[/tex] верен отговор: б)

[ammornil]

Задача2) подобна на зад1, но
понеже [tex]\alpha \in (0;45^\circ) \Longrightarrow DM_1 \left| sin(45^\circ+\alpha)>0 \\ cos(45^\circ+\alpha)>0\right,[/tex]

[tex]sin(90^\circ+\alpha)=cos\alpha \ne cos(45^\circ+\alpha)[/tex]
[tex]cos(90^\circ+\alpha)<0 \Rightarrow \notin DM_1[/tex]
[tex]cos(135^\circ+\alpha)<0 \Rightarrow \notin DM_1[/tex]
Следователно отговори (а),(b) и (d) не могат да бъдат верни.

[tex]sin(135^\circ+\alpha)=sin(90^\circ+45^\circ+\alpha)=sin[90^\circ+(45^\circ+\alpha)]=cos(45^\circ+\alpha)[/tex] -> (c)
[tex]sin(135^\circ-\alpha)=sin(90^\circ+45^\circ-\alpha)=sin[90^\circ+(45^\circ-\alpha)]=cos(45^\circ-\alpha)[/tex] няма го сред изброените
[tex]\Longrightarrow[/tex] верен отговор: c)