Докажете тъждеството cosa+cosb+cosy=4sina/2.sinb/2.siny/2+1

[pisanka7]

Трябва ми помощ със следната задача.

Като използвате че α, β и γ са ъгли в триъгълник докажете:

cosα + cosβ+cosγ=4sinα/2.sinβ/2.sinγ/2+1

[Knowledge Greedy]

Това тъждество е доказвано много пъти, включително и в нашия форум.
Ще го направим с използването на 4 основни тригонометрични формули.

Означаваме лявата страна с [tex]L=cos\alpha + cos\beta +cos\gamma[/tex]
Дясната страна ще бъде [tex]R[/tex]. Да проследим внимателно преобразуванията

[tex]L=cos\alpha +2cos{\frac{\beta +\gamma }{2}} cos{\frac{\beta -\gamma }{2}}[/tex]

[tex]L=1-cos\alpha +1+2cos{\frac{180^\circ -\alpha}{2}} cos{\frac{\beta -\gamma}{2}}[/tex]

[tex]L=2sin^2{\left ( \frac{\alpha }{2 } \right )} +2cos\left (90^\circ-\frac{ \alpha }{2} \right ) cos\frac {\beta - \gamma }{2}+1[/tex]

[tex]L=2sin^2\left ( \frac{\alpha }{2 } \right ) +2sin\left ( \frac{\alpha }{2 } \right )cos\frac{\beta -\gamma}{2} +1[/tex]

[tex]=2sin { \left ( \frac { \alpha }{2 } \right )} \left [ sin \left ( \frac {\alpha } {2 } \right )+ cos\frac { \beta -\gamma }{2} \right ]+1=[/tex]

[tex]=2sin\left ( \frac {\alpha }{2 } \right ) \left[ cos \left (90^\circ-\frac { \alpha}{2} \right )+ cos\frac{\beta -\gamma}{2}\right]+1=[/tex]

[tex]=2sin{ \frac{\alpha }{2 } } 2cos \left (90^\circ-\frac { \alpha}{2}+\frac{\beta -\gamma}{2} \right ) cos \left (90^\circ-\frac { \alpha}{2}-\frac{\beta -\gamma}{2} \right )+1=[/tex]

[tex]=4sin\frac{\alpha }{2 } cos\left ( 90^\circ-\frac{\beta}{2 } \right ) cos\left ( 90^\circ- \frac{\gamma}{2 } \right )+1=R[/tex]