Тригонометрични функции на удвоен ъгъл

[MaGuSs]

Здравейте. Не знаех,че има нов форум та чак сега се усетих. До сега се мъчех в стария да намеря начин да постна тема ^^. Та така. Имам няколко задачки дето ме затрудняват, а в урока в учебника ми не намирам подобни решени задачи, то няма :X

1)Пресметнете стойността на израза
[tex]\sqrt{5}[/tex]sin[tex]\frac{a}{2}[/tex]+3tgα, ако sinα=-0,8,α[tex]\in[/tex](270°;360°)
2)Пресметнете sinα,cosα и tgα, ако sin[tex]\frac{a}{2 }[/tex]=[tex]\frac{12}{ 13}[/tex],а 180°<α<270°
3)Пресметнете sin2α,cos2α и tg2α, ако sinα=0,8, a 90°<a<180°

Благодаря Ви

[ammornil]

1) [tex]\sqrt{5}.sin(\frac{\alpha}{2})+3.tg\alpha=?[/tex] ако [tex]sin\alpha=-0.8, \alpha \in [270^\circ;360^\circ][/tex]
[tex]\alpha[/tex] лежи в IV квадрант, слеодвателно [tex]\begin{array}{|l}sin\alpha<0 \\ cos\alpha>0 \end{array}[/tex]

[tex]sin\alpha=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}[/tex]

[tex]cos\alpha=\pm \sqrt{1-sin^{^{2}}\alpha}=+\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}[/tex]

[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-\frac{4}{3}[/tex]

Понеже [tex]\alpha \in [270^\circ;360^\circ] \Longrightarrow \frac{\alpha}{2} \in [135^\circ; 180^\circ] \Longrightarrow \begin{array}{|l}sin (\frac{\alpha}{2}) >0 \\ cos (\frac{\alpha}{2}) <0 \end{array}[/tex]

[tex]cos\alpha=1-2.sin^{^{2}}(\frac{\alpha}{2}) \Leftrightarrow sin(\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}[/tex]

[tex]sin(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\cancel{2}}{\cancel{2}.5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]

[tex]\sqrt{5}.sin(\frac{\alpha}{2})+3.tg\alpha=\sqrt{5}.\frac{\sqrt{5}}{5}+3.(-\frac{4}{3})=1-4=-3[/tex]

[ammornil]

2) [tex]sin\alpha=?, cos\alpha=?, tg\alpha=?[/tex] ако [tex]sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{12}{13}[/tex] и [tex]\alpha \in (180^\circ;270^\circ)[/tex]

[tex]\alpha \in (180^\circ;270^\circ) \Rightarrow DM_1\equiv \begin{array}{|l} sin\alpha<0 \\ cos\alpha<0 \end{array}[/tex]
[tex]\alpha \in (180^\circ;270^\circ) \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in (90^\circ;135^\circ) \Longrightarrow DM_2\equiv \begin{array}{|l} sin(\frac{\alpha}{2}) >0 \\ cos(\frac{\alpha}{2})<0 \end{array}[/tex]

[tex]cos(\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{1-sin^{^{2}}(\frac{\alpha}{2})}[/tex]

[tex]cos(\frac{\alpha}{2})=-\sqrt{1-sin^{^{2}}(\frac{\alpha}{2})} <0 \Rightarrow \in DM_2[/tex]
[tex]cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{1-sin^{^{2}}(\frac{\alpha}{2})} >0 \Rightarrow \notin DM_2[/tex]

[tex]cos(\frac{\alpha}{2})=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=-\sqrt{\frac{169-144}{169}}=-\frac{5}{13}[/tex]

[tex]sin\alpha=2.sin(\frac{\alpha}{2}).cos(\frac{\alpha}{2})=2.\frac{12}{13}.\left(\frac{-5}{13}\right)=-\frac{120}{169} \in DM_1[/tex]

[tex]cos\alpha=2.cos^{^{2}}(\frac{\alpha}{2})-1=2.\left(\frac{-5}{13}\right)^{2}-1=\frac{2.25-169}{169}=-\frac{119}{169} \in DM_1[/tex]

[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{-\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}}=\frac{120}{119}[/tex]