синуса & косинусова теорема

[sk95]

Търся помощ относно следните задачи-

[Knowledge Greedy]

u]4.[/u] Нека точка [tex]C[/tex] е върхът на ъгъла, а точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са петите на перпендикулярите от [tex]M[/tex] до рамената на ъгъла, [tex]MA=a, \,\ MB=b[/tex]

Eдна косинусова теорема за [tex]\Delta ABM[/tex] дава
[tex]AB=\sqrt{a^2+b^2+2abcos\alpha[/tex], тъй като [tex]\angle AMB=180^\circ -\alpha[/tex].

По синусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex], който е част от вписания в окръжност [tex]\omega[/tex] четириъгълник [tex]ACBM[/tex], получаваме [tex]\frac{AB}{sin\alpha} =2R[/tex].

Оттук и от първия резултат, намираме за отговор 4 в) , защото [tex]MC[/tex] е диаметър на [tex]\omega[/tex].

[tex]2.[/tex] Да означим[tex]\angle ABC=\beta , \,\ \angle ACB =\gamma[/tex].

От съотношението на дъгите следва [tex]\beta =2\gamma[/tex]

По синусовата теорема [tex]\frac{b}{sin\beta }=\frac{a}{sin\gamma }\Leftrightarrow \frac{b}{sin2\gamma }=\frac{a}{sin\gamma }[/tex] [tex]\,\ \Rightarrow b=2 a cos \gamma[/tex]

Намираме [tex]sin \gamma[/tex] и се оказва, че отговорът е 2в)