Намерете лицето на трапеца, ако дължината на отсечката

[мария : )]

Даден е трапец с диагонали 3 cm и 5 cm. Намерете лицето на трапеца, ако дължината на отсечката, съединяваща средата на двете основи, е 2 cm.

[Consigliere-]

Така,нека трапецът е [tex]ABCD[/tex].Да означим [tex]AB=a,CD=b[/tex].[tex]AC=3,BD=5[/tex] [tex],MN[/tex] -отсечката,която свързва средите на основите( [tex]M \in CD , N\in AB[/tex] )
Така,сега от т.[tex]M[/tex] построяваш прави успоредни на диагоналите,които да пресичат основата [tex]AB[/tex] в точки [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] .[tex](MP||AC , MQ||BD)[/tex]
[tex]ACMP[/tex] и [tex]BQMD[/tex] - успоредници .
От което следва ,че [tex]AP=MC=\frac{b}{ 2}[/tex] , [tex]BQ=MD=\frac{b}{2 }[/tex] и [tex]PM=AC=3,QM=BD=5[/tex]
Така [tex]PQ=a+b[/tex]
[tex]MN[/tex] се явява медиана в [tex]\Delta PQM[/tex]
От формулата за медиана имаме
[tex]MN=\frac{1}{2 } \sqrt{2.PM^{2}+2.MQ^{2}-PQ^{2}}[/tex]
След сметки се получава ,че [tex]PQ=2\sqrt{13}[/tex]
По Херонова формула намираме лицето на [tex]\Delta PQM[/tex]
Аз го получавам [tex]S_{PQM}=6[/tex]
Лицето ,на [tex]\Delta PQM[/tex] е равно на лицето на трапеца ..Имат обща височина
Ето как става
Нека височината означим с [tex]h[/tex]
[tex]S_{PQM} = \frac{1}{2 } PQ.h = \frac{1}{2 } .(a+b).h[/tex]
Лицето на трапеца [tex]ABCD[/tex] e [tex]S_{ABCD}= \frac{(AB+CD)}{ 2} .h = \frac{1}{2 } .(a+b).h[/tex]
От което следва че [tex]S_{PQM}=S_{ABCD}=6[/tex]

[мария : )]

благодаря : )