Задача за лице на трапец

[openfire]

Още една задача от раздела за лица.
Точка О е център на вписаната окръжност в правоъгълен трапeц ABCD (AB II CD , ъгъл DAB=90°).Ако OC =1см ,OB=2см,
намерете лицето на трапеца.

[ева]

Нека т.Т,т.Р,т.М са допирните т.на впис.окр.и АВ,CD,ВС.
СР=СМ=х;ВТ=ВМ=у
ВО и СО са ъгглополовящи т.е.
[tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ОВС=[tex]\frac{\beta}{2}[/tex] ,[tex]\angle[/tex]BCD=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ВСО=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ВОС=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]в_{\triangle }[/tex]ВСО - [tex]ВС^{2}[/tex]=[tex]ВО^{2}[/tex]+[tex]СО^{2}[/tex]
[tex](х+у)^{2}[/tex]=4+1[tex]\Rightarrow[/tex]х+у=[tex]\sqrt{5}[/tex] (1)
[tex]\frac{ОТ}{ВТ}[/tex]=tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{OC}{OB}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{r}{у}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] у=2r (2)
[tex]\frac{OP}{CP}[/tex]=tg(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex])=[tex]\frac{OB}{OC}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{r}{х}[/tex]=[tex]\frac{2}{1}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]r=2х (3)
решаваме с-та,намираме:х=[tex]\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex];у=[tex]\frac{4\sqrt{5}}{5}[/tex];r=[tex]\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex];h=2r=[tex]\frac{4\sqrt{5}}{5}[/tex]
ABCD-описан тр.[tex]\Rightarrow[/tex]AB+CD=AD+BC=2r+у+х=[tex]\frac{9\sqrt{5}}{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{(AB+CD)h}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{9\sqrt{5}}{5}\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2}[/tex]=[tex]\frac{36.5}{25.2}[/tex]=3,6
S=3,6 [tex]см^{2}[/tex]