Прогресии

[Гост]

От 4 числа първите 3 образуват растяща геометрична прогресия а последните три - растяща аритметична прогресия. Сумата на крайните числа е 14 а сумата на средните е 12. Намерете числата.

[S.B.]

От 4 числа първите 3 образуват растяща геометрична прогресия а последните три - растяща аритметична прогресия . Сумата на крайните числа е 14 а сумата на средните е 12 . Намерете числата .

Нека числата са :$a , b , c , d$
За да образуват $a,b,c$ геометрична прогресия - НДУ е $b^{2} = a.c$
За да образуват $b,c,d$ аритметична прогресия - НДУ е $ 2c = b + d$
Заедно с другите 2 условия от задачата образувам система:
[tex]\begin{array}{|l} b^{2} = a.c \\ 2c = b + d\\a + d = 14 \\b + c = 12\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} b^{2} = a.c \\ 2c = b + d\\b = 12 - c\\d = 14 - a \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (12 - c)^{2} = a.c \\ 2c = (12 - c) + (14 - a) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (12 - c)^{2} = a.c\\ a = 26 - 3c \end{array}[/tex]
[tex](12 - c)^{2} = c(26 - 3c) ...\Leftrightarrow 2c^{2} - 25c + 72 = 0 , D = 49 , c_{1 } = 8 , c_{2 } = 4,5[/tex]
За $c_{1 } = 8$ чрез заместване получавам съответно: $ a_{1 } = 2 , b_{1 }= 4 , d_{1 } = 12$ или числата $2 , 4 ,8, 12$ които отговарят на условията за растяща геометрична и аритметична прогресия.
За $c_{2 } = 4,5$ чрез заместване получавам съответно: $a_{2 } = 12,5,b_{2 } = 7,5 ,d_{2 } = 1,5$ или числата $12,5; 7,5 ; 4,5; 1,5$ които не отговарят на условията за растяща аритметична и геометрична прогресия.
Следователно отговорът е: $$ 2 , 4 , 8 , 12$$