Пирамида

[Гост]

Здравейте. Ще ви помоля за малко помощ с тази задача. Благодаря ви !

1. В правилна четириъгълна пирамида основният ръб е 6см, а околният ръб е 5см. Намерете лицето на повърхнината и обема на пирамидата.

[ammornil]

Правилна четириъгълна пирамида: основата е квадрат, всички основни ръбове са равни; всички околни стени са равнобедрени триъгълници с основа основен ръб и бедра околни ръбове на пирамидата. Всички апотеми от върха към основните ръбове са равни.

Нека основният ръб е "а", околният ръб е "l", апотемите са "k", а височината на пирамидата е H. Нека лицето на основата е B, а лицето на околната повърхнина е S. [tex]S_{_{1}}[/tex] е лицето на пълната повърхнина, а V е обемът на пирамидата.
За дадените условни означения в правилна четириъгълна пирамида са в сила равенствата:

[tex]l^{^{2}}=\frac{a^{^{2}}}{4}+k^{^{2}}, \hspace{10 mm} l^{^{2}}=\frac{a^{^{2}}}{2}+H^{^{2}}, \hspace{10 mm} k^{^{2}}=\frac{a^{^{2}}}{4}+H^{^{2}}[/tex]

[tex]B=a^{^{2}}, \hspace{10 mm} S=2.a.k, \hspace{10 mm} S_{_{1}}=B+S =a.(a+2.k), \hspace{10 mm} V=\frac{1}{3}.a^{^{2}}.H[/tex]

В конкретния случай знаем, че a=6cm, l=5cm.

[tex]k^{^{2}}=l^{^{2}}-\frac{a^{^{2}}}{4}=25-\frac{36}{4}=25-9=16 \hspace{10 mm} k=4 \hspace{5 mm}cm[/tex]

[tex]H^{^{2}}=l^{^{2}}-\frac{a^{^{2}}}{2}=25-\frac{36}{2}=25-18=7 \hspace{10 mm} H=\sqrt{7} \hspace{5 mm}cm[/tex]

[tex]B=a^{^{2}}=6^{^{2}}=36 \hspace{5 mm}cm^{^{2}}, \hspace{10 mm} S=2.a.k=2.6.4=48\hspace{5 mm}cm^{^{2}}, \hspace{10 mm} S_{_{1}}=B+S =36+48=84\hspace{5 mm}cm^{^{2}}[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}.a^{^{2}}.H=\frac{1}{3}.6^{^{2}}.\sqrt{7}=12.\sqrt{7}\hspace{5 mm}cm^{^{3}}[/tex]

[ammornil]

ИЗВЕЖДАНЕ НА ГОРЕ ПОЛЗУВАНИТЕ ФОРМУЛИ ЗА ПРАВИЛНА ЧЕТИРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА

Нека правилната четириъгтлна пирамида е с основа квадрата ABCD и с връх точката М. Следователно знаем, че AB=BC=AC=CD=a; AM=BM=CM=DM=l.
Нека пресечната точка на диагоналите на основата е точката О. Построяваме отсечка МО. Нека височината на околната стена ABM е MP, където P лежи на АВ, тогава MP=k. Понеже по условие АМ=ВМ, следва че МР е височина, медиана ъ ъглополовяща, от където излиза че точка Р е среда на АВ.

Горните формули за връзка между елементите на правилната четириъгълна пирамида се извеждат както следва:

Триъгълник AMB е правоъгълен, равнобедрен (АМ=МВ по условие). Вече знаем, че АР=РВ и понеже АВ=а, [tex]\Rightarrow \hspace{5 mm} AP=PB=\frac{a}{2}[/tex].

[tex]\triangle AMP \hspace{5 mm} MP \bot AP \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} AM^{^{2}}=AP^{^{2}}+MP^{^{2}} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} l^{^{2}}=\frac{a^{^{2}}}{4}+k^{^{2}}[/tex].

[tex]\triangle ABC \hspace{5 mm} AB \bot BC \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} AC^{^{2}}=AB^{^{2}}+BC^{^{2}} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} AC^{^{2}}=a^{^{2}}+a^{^{2}}=2.a^{^{2}} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} AC=a.\sqrt{2}[/tex]

Триъгълник АМС е равнобедрен (АМ=СМ по условие). Точка О е среда на АС (пресечна точка на диагонали в квадрата АВСD), [tex]AO=OC=\frac{1}{2}.AC=\frac{a.\sqrt{2}}{2}[/tex]. Следователно МО е медиана към основата в равнобедрения триъгълник АМС, следователно е и височина и ъглополовяща, откъдето следва че е перпендикулярна на АС. Излиза, че МО е височина на пирамидата (перпендикуляр от върха на пирамидата към основата). Не може да има друг перпендикуляр от върха към основата, защото това би означавало да имаме повече от една ортогонална проекция на върха в равнината на основата, което означава през върха да минава повече от една права перпендикулярна на равнината на основата, което е невъзможно. МО=H.

[tex]\triangle AMO \hspace{5 mm} MO \bot AO \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} AM^{^{2}}=AO^{^{2}}+MO^{^{2}} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} l^{^{2}}=\left( \frac{a.\sqrt{2}}{2} \right) ^{^{2}} +H^{^{2}} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} l^{^{2}}= \frac{a^{^{2}}}{2}+H^{^{2}}[/tex]

В триъгълник АВD, точките О и Р са среди съответно на BD и АВ. Тогава ОР е средна отсечка в триъгълник АВD и [tex]\Rightarrow \begin{cases} OP=\frac{1}{2}.AD=\frac{a}{2} \\ OP || AD \end{cases}[/tex].

[tex]MO \bot p(ABCD) \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} MO \bot OP[/tex]

[tex]\triangle OPM \hspace{5 mm} MO \bot OP \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} MP^2=OP^2+MO^2\hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} k^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 +H^2 \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} k^2=\frac{a^2}{4}+H^2[/tex]

Това е доказателството за първите равенства. Останалото са лица на равнини фигури, сборове от такива лица и обем на пирамида.