триъгълник

[Гост]

В равностранен триъг. е вписан друг равностранен триъгълник. с 3 пъти по-малко лице. Да се докаже, че страните на двата триъгълника са взаимно перпендикулярни.


Как се решава тази задача? Ще бъда мн. благодарна ако някой да ми я обясни .

[MOPKOBKA]

В равностранен триъг. е вписан друг равностранен триъгълник. с 3 пъти по-малко лице. Да се докаже, че страните на двата триъгълника са взаимно перпендикулярни.


Как се решава тази задача? Ще бъда мн. благодарна ако някой да ми я обясни .

Щом като лицата на триъгълниците се отнасят като 3:1, то страните им са в отношение √3:1. Построй равностранен триъгълник със страна 3, раздели я на три части и съедини трите първи точки. Полученият триъгълник е вписан, страната му е ...(колко?), остава да се докаже и перпендикулярността.

[s.karakoleva]

Нека страната на [tex]\triangle ABC[/tex] е [tex]a[/tex], а на вписания [tex]\triangle MNP[/tex] е [tex]y[/tex]. Означаваме [tex]PC=x,\ ( x<a-x;\ x, \ a,\ a-x, \ y>0)[/tex].

ravnostranen.pdf

Чертеж

(10.33 KiB) 78 пъти

От [tex]\frac{S_{ABC}}{S_{MNP}}=\frac31=\frac{a^2}{y^2}\Rightarrow a=\sqrt{3}y[/tex]

От Косинусова теорема за [tex]\triangle AMP[/tex]

[tex]y^2=x^2+(a-x)^2-2x(a-x)\cos 60^\circ \Leftrightarrow \frac13 a^2=x^2+a^2-2ax+x^2-ax+x^2\Leftrightarrow 9x^2-9ax+2a^2=0.[/tex]
[tex]D=9a^2; \ x_{1}= \frac23a\notin DS;\ x_2=\frac13a\in DS[/tex]

Следователно [tex]x=\frac{a}3\ , \ a-x=\frac23 a\[/tex].

По Синусова теорема за [tex]\triangle AMP\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{MP}{\sin 60^\circ}=\frac{AP}{\sin \varphi}\Rightarrow\frac{\frac{\sqrt 3}{3}a}{\frac{\sqrt3}2}=\frac{\frac{2a}{3}}{\sin\varphi}\Leftrightarrow \sin \varphi=1[/tex]
Следователно, [tex]\varphi=90^\circ[/tex]