Дали рекурентна редица е растяща?

[Гост]

Да се докаже, че редицата [tex]a_{1}=1; a_{2}=5 ;a_{n+2}=3a_{n+1}-a_{n}[/tex] е растяща.

[Добромир Глухаров]

Чрез Метод на Пълната Математична Индукция (МПМИ) ще докажем, че [tex]a_{n+1}>a_n, n\in \mathbb{N}[/tex]

1.) [tex]n=1; a_2>a_1[/tex]

2.) [tex]n=k[/tex]; Допускаме, че [tex]a_{k+1}>a_k[/tex]

3.) [tex]n=k+1[/tex]; [tex]a_{k+2}-a_{k+1}=3a_{k+1}-a_k-a_{k+1}=a_{k+1}+(a_{k+1}-a_k)>a_{k+1}>0[/tex], понеже [tex]a_{k+1}-a_k>0[/tex] от точка (2) (допускането) и по същата причина [tex]a_{k+1}>0[/tex]. Т.е. [tex]a_{k+2}-a_{k+1}>0\Rightarrow a_{k+2}>a_{k+1}[/tex]

От 1), 2) и 3) и Теоремата за Пълната Математична Индукция (ТПМИ) следва, че [tex]a_{n+1}>a_n[/tex] за всяко естествено [tex]n[/tex], т.е. редицата е растяща.

[Добромир Глухаров]

Много се извинявам: Не е Теорема, а Аксиома за Пълната Математична Индукция (АПМИ).

[Гост]

А защо [tex]a_{k+1}>0[/tex]? Това откъде следва?

[Добромир Глухаров]

От допускането: [tex]a_{k+1}>a_k>0[/tex], понеже [tex]a_1>0[/tex] и на всяка индуктивна стъпка доказваме, че следващото 'а' е положително, понеже е по-голямо от предното 'а', което е положително, а поначало имаме [tex]a_2>a_1[/tex].

А можем да направим друга индуктивна стъпка специално за да докажем [tex]a_n>0[/tex]: [tex]a_{k+2}=3a_{k+1}-a_k=2a_{k+1}+a_{k+1}-a_k>2a_{k+1}>0[/tex]