Математическа индукция

[Гост]

Здравейте!Ще се радвям,ако някой удари едно рамо за 2-та примера.
Ако n е естествено число, докажете, че:

indukciq.JPG (22.69 KiB) Прегледано 466 пъти

Благодаря!

[Anubis]

Ще ти помогна само за първата, другата не съм я гледал хич. Значи, ти имаш да

докажеш, че [tex]\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{1+2+\cdots+n}=\frac{2n+1}{3}[/tex].

1. Първо трябва да провериш, че това тъждество е вярно за [tex]n=1[/tex]. Ами вярно е, защото

[tex]\frac{1}{1}=\frac{3}{3}=1[/tex].

2. Сега предполагаме, че тъждеството е изпълнено за някакво [tex]k[/tex], т. е. в сила е

[tex]\frac{1^2+2^2+\cdots+k^2}{1+2+\cdots+k}=\frac{2k+1}{3}[/tex]. Искаме да покажем, че е изпълнено и за [tex]k+1[/tex]. Това ще направим в

третата стъпка.

3. [tex]\frac{1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2}{1+2+\cdots+k+k+1} = \frac{1^2+2^2+\cdots+k^2}{\underbrace{1+2+\cdots+k}+k+1}+\frac{(k+1)^2}{\underbrace{1+2+\cdots+k}+k+1}[/tex]

Знаем, че [tex]1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex] (сума на първите естествени числа).

[tex]\underbrace{1+2+\cdots+k}+k+1 = \frac{k(k+1)}{2} + k+1 = \frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{1^2+2^2+\cdots+k^2}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}}+\frac{(k+1)^2}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}} = \frac{2}{(k+1)(k+2)} \left [ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2\right ] \quad (*)[/tex]

Това в скобите го преписваме по следния начин:

[tex]\fbox{\frac{1^2+2^2+\cdots+k^2}{1+2+\cdots+k}} \cdot (\underbrace{1+2+\cdots+k})+(k+1)^2 = \frac{2k+1}{3} \cdot \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)^2 = (k+1) \left [ \frac{k(2k+1)}{6}+k+1 \right ] =[/tex]

[tex]= (k+1) \cdot \frac{2k^2+7k+6}{6}[/tex] (ограденото се намира от индукционното предположение)

[tex]\Rightarrow^{(*)} \frac{2}{(k+1)(k+2)} \left [ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 \right ] = \frac{2}{(k+1)(k+2)} \cdot \frac{k+1}{6} \cdot (2k^2+7k+6) = \frac{1}{3(k+2)}\cdot(2k^2+7k+6).[/tex]

Само разлагаме квадратното нещо на линейни множители —

[tex]\frac{1}{3(k+2)} \cdot 2 \cdot \left ( k+\frac{3}{2} \right ) \cdot (k+2) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2k+3}{2} = \frac{2k+3}{3} = \frac{2(k+1)+1}{3}[/tex] — това, което ни трябваше, .

[Гост]

Благодаря Ви за помощта!

[Xixibg]

...................................
Знаем, че [tex]1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex] (сума на първите естествени числа).
..........................................................

Това пък от къде го знаем?
Не трябва ли да го докажем с индукция?

То по тази твоя логика знаем че:
[tex]1^2+2^2+3^2+........+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
И тъй като също знаем че:
[tex]1+2+3+......+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
То като разделим първото на второто и хоп отговора на задачата......

[ganka simeonova]

Xixibg, защо след като сумата на естествените числа директно се доказва с формулата за сума на ар. прогресия, да го доказваме с индукция?

[Гост]

То по-хубавия въпрос е как се извеждат такива суми, инак като стои готовото равенство, най-лесно е да се докаже, че е валидно. Обаче какво правим ако задачата например беше, "сметнете сумата от кубовете на първите n естествени числа"?

Да попитам госпожата, как доказвате формулата за сумата на първите n члена на аритметична прогресия?

[ganka simeonova]

Много лесно, като ползвам свойството й.
[tex]a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=...[/tex]

[ganka simeonova]

Сумата на кубовете може да се изведе от формулата
[tex](1+n)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1[/tex]

[Добромир Глухаров]

Сумата на кубовете може да се изведе от формулата
[tex](1+n)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1[/tex]

А ако искаш да видиш как, може да погледнеш тук - последната публикация на grav също може да ти е от полза.

[ganka simeonova]

Благодаря:) Наистина е елегантно.

[Xixibg]

Xixibg, защо след като сумата на естествените числа директно се доказва с формулата за сума на ар. прогресия, да го доказваме с индукция?

Ами просто задачата е със заглавие математическа индукция и много прилича да искат доказателство именно с индукция.А иначе коментара ми е за друго.Малко грубо звучи в решението на дадена задача да пише "знаем че.........".Това не е определение или теорема и трябва да се доказва (поне според мен).На времето ни учиха да не използваме в решенията "знаем че","очевидно",....

[Anubis]

Просто реших да помогна на автора на темата, защото отдавна не бях помагал на ученици. И при първия ми опит за помощ след доста дълго прекъсване пак ще се намери някой, който да не е доволен. Не ме интересува, честно казано. Не ми пука въобще. Имам доста по-сериозни неща, за които да мисля, от това, дали ще ми харесат решението, или не. Вече се разделих с ученическия манталитет да правя нещата така, както ги изискват. Сега ги правя така, както на мен ми харесва.