Две геометрични задачи.

[ervin]

1.В окръжност с радиус R е вписан триъгълник АВС. Точката Д лежи на дъгата ВС, а хордите АД и ВС се пресичат в точка М. Да се намери ВС, ако ъгъл ВМД=120 градуса, АВ=R и ВМ:МС=2:3 Отг.[tex]\frac{5}{ \sqrt{7} } R[/tex]

[Spider Iovkov]

Зад. 1. Всичко е нарисувано на картинката. Съобразяваме, че от [tex]\frac{BM}{MC}=\frac{2}{3} \Rightarrow BM=2x, \, MC=3x[/tex]. По синусовата теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] имаме

[tex]\frac{AB}{sin \gamma} = 2R \Leftrightarrow \frac{R}{sin \gamma} = 2R \Leftrightarrow sin \gamma = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \gamma = 30^\circ[/tex].

Сега

[tex]\angle BMD = 120^\circ \Leftrightarrow \angle AMC = 120 ^\circ \Leftrightarrow \angle CAM = 30^\circ \Leftrightarrow AM=CM=3x[/tex].

Аналогично [tex]BM=DM=2x[/tex].

По косинусовата теорема за [tex]\triangle ABM[/tex] намираме, че е изпълнено

[tex]AB^2=AM^2+BM^2-2.AM.BM. cos \angle AMB \Leftrightarrow (3x)^2+(2x)^2-2.3x.2x. cos 60^\circ = R^2[/tex].

От последното лесно намираме, че [tex]x=\frac{R}{\sqrt{7}}[/tex]. Така [tex]BC=5x \Leftrightarrow BC=\frac{5R}{\sqrt{7}}[/tex].