Индукция -неравенство

[Гост]

Здравейте!Как се доказва следното неравенство чрез математическа индукция?
1+1/√2+1/√3+....+1/√n < 2√n

Благодаря!

[ganka simeonova]

1) Проверяваме за к=1.[tex]1<2[/tex]-вярно.
2) Доп., че неравенството е изпълнено за някое произволно к. Ще док., че е изпълнено и за к+1, т.е.
[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2} } +...\frac{1}{\sqrt{k+1} } <2\sqrt{k+1}[/tex]

[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2} } +...\frac{1}{\sqrt{k} } +\frac{1}{\sqrt{k+1} }<2\sqrt{k} +\frac{1}{\sqrt{k+1} }=\frac{2\sqrt{k(k+1)} +1}{\sqrt{k+1} }[/tex]

От неравенството м/у СА-СГ=>[tex]2\sqrt{k(k+1)} \le k+(k+1)[/tex]=>

[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2} } +...\frac{1}{\sqrt{k} } +\frac{1}{\sqrt{k+1} }<2\sqrt{k} +\frac{1}{\sqrt{k+1} }=\frac{2\sqrt{k(k+1)} +1}{\sqrt{k+1} }\le \frac{k+k+1+1}{ \sqrt{k+1} } =\frac{2(k+1)}{\sqrt{k+1} } =2\sqrt{k+1}[/tex]

[Гост]

Бихте ли ми обяснили само какво е "СА-СГ" и как се получава (к+к+1+1)/√k+1 ?

[ganka simeonova]

Неравенство между средно аритметично и средно геометрично. Гласи, че за
[tex]a_1; a_2; ..; a_n\ge 0=>a_1+...a_n\ge n\sqrt[n]{a_a..a_n}[/tex]
Аз го приложих за [tex]k; k+1=>2\sqrt{k(k+1)} \le k+k+1[/tex] Тук дори неравенството е строго, защото няма как тези числа да са равни.