Аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Някой може ли да ми помогне с две задачи по математика:

1 зад. Вторият, първият и третият член на аритметична прогресия са различни и образуват в посочения ред геометрична прогресия. Да се намери нейното частно.

2 зад. Аритметична прогресия има 9 члена. Първият й член е 1, а сумата от всичките е 369. Геометрична прогресия също има 9 члена, като първият и последният й член съвпадат съответно с първия и последния член на аритметичната. Да се намери седмият член на геометричната прогресия.

Много благодаря предварително!

[pettq95]

2 задача
Крайна аритметична прогресия: a1=1 S9=369 n=9
Крайна геометрична прогресия: b1=1 b9=a9 n=9
b7=?
S=[(a1+an)*n]/2 an=a1+(n-1)*d

S{[a1+a1+(n-1)*d]*n}/2

369=[1+1+8*d]*9/2

369=(2+8*d)*9/2

369=(1+4*d)*9

41=1+4*d

4*d=40

d=10

a9=a1+8d=1+8*10=1+80=81

a9=b9=81

b1*b9=b3*b7

1*81=b1*q(на квадрат) * b1*q(на шеста)

81=1*1*q(на осма)

81=q(на осма)

q=[tex]\sqrt{3}[/tex]

С първата нещо не се справих въпреки, че изглежда лесна. Надявам се тази да е вярна! Съжалявам за изписването на степените, просто не знам как да ги направя в този форум .

[ammornil]

..:: задача 1 ::..
[tex]\div a_1, \hspace{4} a_2, \hspace{4} a_3, \hspace{4} a_4, \hspace{4} a_5 \\
a_1 \ne a_2 \ne a_3 \ne a_4 \ne a_5 \\
\ddot{\div} b_1, \hspace{4} b_2, \hspace{4} b_3 \\
b_1=a_2, \hspace{4} b_2=a_1, \hspace{4} b_3=a_3 \\
b_2=b_1.q, \hspace{4} b_3=b_1.q^2 \\
q=?[/tex]

[tex]2.a_2=a_1+a_3[/tex]- свойство на аритметична поргресия

[tex]2.b_1=b_1.q+b_1.q^2 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} 2=q+q^2 \\
q^2+q-2=0 \\
q_{_{1,2}}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\
q_{_{1}}=-2 \hspace{6} \cup \hspace{6} q_{_{2}}=1[/tex]

[Гост]

Доста са ми трудни тези задачи ,дано някой успее да ги реши.

[ammornil]

За в бъдеще, когато публикувате питане, добре е да го направите в отделен (нов) пост.

Малко теория (клини ПОКАЖИ)

Скрит текст: покажи

Аритметична прогресия:
$$\div a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ..., a_{1}+(n-1)d, ... \ \begin{cases} a_{1} - \text{първи член на прогресията} \\ d - \text{разлика на прогресията}, d \ne 0 \\ n - \text{елемент с поредене номер n}, n \in N \end{cases}$$
Всеки некраен елемент от прогресията е средно аритметичен на съседните си: $$a_{k}=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}, 1 < k < n$$
Всеки два члена на прогресията, равно отдалечени от краищата и, имат една и съща сума. Ако прогресията има [tex]n[/tex] члена то:
[tex]a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=...=a_{k}+a_{n-k+1}[/tex]
Сумата от първите [tex]n[/tex] члена се определя като $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}.n,\ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}.n$$

Геометрична прогресия:
$$\ddot{-} a_{1}, a_{1}q, a_{1}q^{2}, ..., a_{1}q^{n-1}, ... \ \begin{cases} a_{1} - \text{първи член на прогресията} \\ q - \text{частно на прогресията}, q \in R _{/\{0;1\}} \\ n - \text{елемент с поредене номер n}, n \in N \end{cases}$$
Всеки некраен елемент от прогресията е средно геометричен на съседните си: $$a_{k}^{2}=\frac{a_{k-1}.a_{k+1}}{2}, 1 < k < n$$
Всеки два члена на прогресията, равно отдалечени от краищата и, имат едно и също произведение. Ако прогресията има [tex]n[/tex] члена то:
[tex]a_{1}.a_{n}=a_{2}.a_{n-1}=a_{3}.a_{n-2}=...=a_{k}.a_{n-k+1}[/tex]
Сумата от първите [tex]n[/tex] члена се определя като $$S_{n}=\frac{a_{n}q-a_{n}}{q-1}.n,\ S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}.a_{1}$$

(18)
[tex]\div a_{1}, a_{2}=a_{1}+d, a_{3}=a_{1}+2d, a_{4}=a_{1}+3d, a_{5}=a_{1}+4d[/tex]
[tex]\ddot{-} b_{1}=a_{1}, b_{2}=a_{1}+3d, b_{3}=a_{1}+4d, \phantom{QQQ} q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{a_{1}+3d}{a_{1}} \Rightarrow q=1+3\frac{d}{a_{1}}[/tex]
Свойство на членовете на геометрична прогресия: [tex]b_{2}^{2}=b_{1}.b_{3} \Rightarrow (a_{1}+3d)^{2}=a_{1}.(a_{1}+4d)[/tex]
[tex]\cancel{a_{1}^{2}}+6a_{1}d+9d^{2}=\cancel{a_{1}^{2}}+4a_{1}d \Leftrightarrow 9d^{2}+2a_{1}d=0 |:d \ne 0 \Leftrightarrow 9d+2a_{1}=0 \Leftrightarrow d=\frac{-2a_{1}}{9}[/tex]
[tex]q=1+3\frac{d}{a_{1}}=1+3.\frac{-2\cancel{a_{1}}}{9}.\frac{1}{\cancel{a_{1}}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex]

(19)
[tex]\div a_{1}, a_{1}+d, ..., a_{1}+(n-1)d, \phantom{QQQ} \begin{cases} a_{1} \in Z \\ d \in Z_{/\{0\}} \end{cases}[/tex]
[tex]S_{6}=\frac{2a_{1}+5d}{2}.6=3(a_{1}+5d)[/tex], [tex]S_{12}=\frac{2a_{1}+11d}{2}.12=6(a_{1}+11d)[/tex]
[tex]a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}+a_{12}=S_{12}-S_{6} \Rightarrow a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}+a_{12}-S_{6}=S_{12}-2S_{6}[/tex]
[tex]S_{6}-S_{5}=a_{6}, S_{5}-S_{4}=a_{5}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} S_{12}-2S_{6} \leq 450 \\ a_{5} \leq 6 \\ a_{6} \leq 6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}6(a_{1}+11d)-6(a_{1}+5d) \leq 450 \\ a_{1}+4d \leq 6 \\ a_{1}+5d \leq 6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 36d \leq 450 \\ a_{1}+4d \leq 6 \\ a_{1}+5d \leq 6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} d \leq \frac{25}{2} \\ a_{1}+4d \leq 6 \\ a_{1}+5d \leq 6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} d \leq \frac{25}{2} \\ a_{1}+4d - 4d \leq 6-4.\frac{25}{2} \\ a_{1}+5d-5d \leq 6-5.\frac{25}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} d \leq \frac{25}{2} \\ a_{1} \leq -48 \\ a_{1} \leq -\frac{113}{2}\end{array}[/tex]
Понеже [tex]\begin{cases} a_{1} \in Z \\ d \in Z_{/\{0\}} \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} d \leq 12 \\ a_{1} \leq -48 \\ a_{1} \leq -57\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} d \leq 12 \\ a_{1} \leq -57\end{array}[/tex]

(20)
[tex]\ddot{-} a_{1}, -2a_{1}, 4a_{1}, -8a_{1}, 16a_{1} ...[/tex]
[tex]A=\frac{a_{3}+a_{4}}{a_{1}+a_{2}}=\frac{-8a_{1}+ 4a_{1}}{a_{1}-2a_{1}}=\frac{-4a_{1}}{-a_{1}}=4[/tex]