Да се реши уравнението

[Гост]

Ако n е естествено число,решете у-ето : (n-1)/n+(n-2)/n+....+1/n=4
Благодаря!

[ganka simeonova]

Ползвай, че имаш сума на аритметична прогресия:
[tex]\frac{1}{ n} (1+2+...+n-1)=\frac{1}{ n} \frac{1+n-1}{2 } .(n-1)=\frac{n-1}{ 2} =>[/tex]

[tex]\frac{n-1}{2 } =4=>n=9[/tex]

[Гост]

Нещо не разбрах как се получава.Може ли малко по-подробно?Благодаря!

[ammornil]

Подреди членовете на дадения сбор в обратен ред. Получава се:
[tex]\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-2}{n}+\frac{n-1}{n}[/tex]

Понеже всички събираеми имат равни знаменатели, можем да запишем че:
[tex]\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-2}{n}+\frac{n-1}{n}=\frac{1+2+3+...+(n-2)+(n-1)}{n}=\frac{S_{n-1}}{n}[/tex]

Числителят е сумата на крайна аритметична прогресия с (n-1) члена и разлика 1. С други думи имаме аритметична прогресия, с първи член [tex]a_1=1[/tex], разлика [tex]d=1[/tex] и последенчлен [tex]a_{n-1}=n-1[/tex].
От теорията знаем как да пресметнем сумата от всички дадени членове:
[tex]S_{n-1}=\frac{a_1+a_n}{2}.(n-1)=\frac{1+n-1}{2}.(n-1)=\frac{n.(n-1)}{2}[/tex]

Заместваме в оригиналния израз и той придобива вида:
[tex]\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-2}{n}+\frac{n-1}{n}=\frac{1+2+3+...+(n-2)+(n-1)}{n}=\frac{S_{n-1}}{n}=\frac{1}{n}.\frac{n.(n-1)}{2}=\frac{n-1}{2}=4[/tex]
Откъдето n=9.

(задачата може да се реши аналогично без да се променя редът на събираемите, но тогава първият член на аритметичната прогресия ще е a_1=n-1, последният ще е a_{n-1}=1 и разликата ще е -1. това може да е малко объркващо, затова предпочетох предложения начин)

[ganka simeonova]

Нещо не разбрах как се получава.Може ли малко по-подробно?Благодаря!

Научи свойствата на аритметичната прогресия и как се намира сума.