тригонометрия - 11 клас

[Гост]

През върха B и средата на височината CD на триъгълник ABC е построена права. В какво отношение тази права дели лицето на триъгълника, ако ъгъл BAC=\alpha и ъгъл ABC=\beta .

[Гост]

[tex]\frac{\sin(\alpha+\beta) \tan \beta}{\sin \alpha}[/tex]

[Гост]

Искам да кажа [tex]\frac{\sin(\alpha+\beta) \tan \beta}{\sin \alpha \sin \beta}[/tex].

[Гост]

отговора е: sin[tex]\alpha[/tex].sin[tex]\beta[/tex]/sin([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]

трябва ми решението

[strangerforever]

Нека правата пресича AC в P, а средата на CD е М.

От теоремата на Менелай за триъгълник AHC и правата B-M-P получаваме:

[tex]\frac{CP}{PA}.\frac{AB}{BH}.\frac{HM}{MC} = 1[/tex], откъдето:

[tex]\frac{CP}{PA} = \frac{BH}{AB}[/tex]

Ясно е, че отношението на двете лица е равно на [tex]\frac{CP}{PA}[/tex]

Остава само да заместиш AB = AH + BH и да изразиш AH и BH съответно като [tex]CDcotg\alpha[/tex] и [tex]CDcotg\beta[/tex] и ще достигнеш до отговора.