Тригонометрични функции в рабнобедрен триъгълник 11 клас

[Гост]

1. Как мога да намеря бедрото на равнобедрен триъгълник по дадени: ъгъл при основата α и височина към бедрото h?
Отг. е h/sin2α, но аз не мога да достигна до него.....

2. Да се намерят страните на равнобедрен триъгълник по дадени полупериметър р и ъгъл между бедрата α?

3. Да се намерят основите на описан около окръжност равнобедрен трапец по дадени ъгъл при голямата основа α и радиус на вписаната окръжност R?

4. Да се намери лицето на равнобедрен триъгълник по дадени основа 2α и радиус на вписаната окръжност r?

Моля Ви помогнете ми, че съм отчаян

[ева]

1 зад.
т.Н лежи на АС,катоВН[tex]\bot[/tex]АС;АСдадени-ВН=h,[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex] /АС=ВС=?
[tex]\triangle[/tex]АВН е правоъг. sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{h}{AB}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]AB=[tex]\frac{h}{sin\alpha}[/tex]
[tex]\frac{AB^{2}sin\alpha.sin\beta}{2sin\gamma}[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AC.BH}{2}[/tex]

[tex]\frac{h^{2}sin\alpha.sin\alpha}{sin^{2}\alpha.2sin(180^\circ-2\alpha)}[/tex]=[tex]\frac{AC.h}{2}[/tex]

[tex]\frac{h}{sin2\alpha}[/tex]=AC т.е. AC=BC=[tex]\frac{h}{sin2\alpha}[/tex]

4зад.
нека т.О-център на вписаната окр., т.Н е среда на АВ;тр-к АНО-правоъг.;[tex]\angle[/tex]ОАН=[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]
tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{r}{a}[/tex]; tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2\frac{r}{a}}{1-\frac{r^{2}}{a^{2}}}[/tex]=[tex]\frac{2ra}{a^{2}-r^{2}}[/tex] т.е. tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2ra}{a^{2}-r^{2}}[/tex] (1)
tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{HC}{AH}[/tex] ползваме (1)
[tex]\frac{2ra}{a^{2}-r^{2}}[/tex]=[tex]\frac{HC}{a}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] HC=[tex]\frac{2ra^{2}}{a^{2}-r^{2}}[/tex]

[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex]=[tex]\frac{2a2ra^{2}}{2(a^{2}-r^{2})}[/tex]=[tex]\frac{2ra^{3}}{a^{2}-r^{2}}[/tex]
отг.[tex]\frac{2ra^{3}}{a^{2}-r^{2}}[/tex]