Описана окръжност

[Гост]

Даден е триъгълник ABC. Намерете радиуса на описаната около него окръжност, ако BC=6, AC=4 и [tex]\alpha = 2\beta[/tex] .
Със сигурност знам, че се използват тригонометричните функции (свършихме тригонометрията и на класното ще има и малко геометрия).
Благодаря предварително.

[monika_at]

При стандартните означения ползвай синусова теорема. Тогава:

[tex]\frac{6}{sin2\beta } =\frac{4}{sin\beta }=>\frac{sin2\beta }{sin\beta }=\frac{3}{2 }=>\frac{2sin\beta cos\beta }{ sin\beta } =\frac{3}{ 2}=>cos\beta=\frac{3}{ 4}[/tex]

Вече имаме две страни и ъгъл и можем с косинусовата т-ма да намерим третата страна.
[tex]c_1=4; c_2=5[/tex]

Ако допуснем, че [tex]c=4=>[/tex]триъгълникът е равнобедрен и правоъгълен, но тогава страните [tex]4, 4, 6,[/tex] не са питагорови числа. Тогава остава решението [tex]c=5[/tex]
Вече имаш свобода за радиуса. Аз бих намерила [tex]sin\beta =\frac{\sqrt{7} }{4 }[/tex] и после синусова теорема.

П.П.
Тази задача може да се реши синтетично, без тригонометрия, само като се построи ъглополовящата на ъгъл А и се разгледат два подобни триъгълника. Така чуждото решение отпада. На моите ученици я решавам по двата начина и те винаги харесват втория