Геометрия - 11 клас

[Гост]

Може ли малко насоки за тази задача:

В равнобедрения трапец ABCD(AB||CD. AB>CD), ъглополовящата на ъгъл BCD и височината през върха D се пресичат в точка H, която лежи на AB. CH пресича дягонала BD в т. P, а AP пресича бедрото BC в т. Q. Ако BP:PD=m, изчислете отношението CQ:BQ=?

[kucheto]

Да приложим теоремата на Менелай за [tex]\triangle BHC[/tex] и правата [tex]APQ[/tex]: [tex]\frac{BA}{AH}.\frac{HP}{PC}.\frac{CQ}{QB}=1.[/tex] (1)
Виждаме, че неизвестното [tex]\frac{CQ}{QB}[/tex] е един от множителите, така че търсим другите.
Въвеждаме означенията:[tex]AB=a,\ CD=b,\ AD=BC=c\Rightarrow AH=\frac{a-b}{2},\ BH=\frac{a+b}{2}.[/tex]
Нека без ограничение на общността [tex]b=1.[/tex]
От свойството на ъглополовящата имаме: [tex]BP:PD=BC:CD=c:b=m,\ b=1\Rightarrow c=m.[/tex]
[tex]\angle BCH=\angle DCH=\angle CHB=x\Rightarrow BC=BH=c=\frac{a+b}{2}\Rightarrow a=2c-b=2m-1.[/tex]
Намираме първото частно в израза (1): [tex]\frac{BA}{AH}=\frac{a}{\frac{a-b}{2}}=\frac{2m-1}{m-1}.[/tex]
[tex]DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{ab}\Rightarrow CH=\sqrt{DH^2+CD^2}=\sqrt{ab+b^2}=\sqrt{2m},\ cos x=\frac{CD}{CH}=\frac{1}{\sqrt{2m}}.[/tex]
[tex]CP=\frac{2bc}{b+c}cos x=\frac{\sqrt{2m}}{m+1}\Rightarrow HP=CH-CP=m\frac{\sqrt{2m}}{m+1}\Rightarrow \frac{HP}{PC}=m[/tex] (второто частно в (1)).
Накрая намираме: [tex]\frac{CQ}{BQ}=\frac{m-1}{m(2m-1)}.[/tex]

[inveidar]

ddd.png (25.69 KiB) Прегледано 813 пъти

Всеки би трябвало да знае, че в равнобедрен трапец [tex]AH=\frac{a-b}{ 2},BH=\frac{a+b}{ 2}[/tex]. От условието лесно следва [tex]c=\frac{a+b}{ 2}[/tex]. Сега от свойството на ъглополовящата за триъгълника DBC лесно получаваме
[tex]m=\frac{BP}{PD }=\frac{a+b}{2b }=\frac{1}{2 }(\frac{a}{b }+1)[/tex], т.е [tex]\frac{a}{ b}=2m-1[/tex].
[tex]\frac{CQ}{BQ }=\frac{CL}{AB }[/tex]. От друга страна [tex]\frac{CL}{AH }=\frac{CP}{PH }=\frac{CD}{BH } \Rightarrow CL=\frac{AH}{BH }.CD\Rightarrow CL=\frac{a-b}{a+b }.b[/tex] и следователно [tex]\frac{CQ}{BQ }=\frac{a-b}{a+b }.\frac{b}{a }=\frac{\frac{a}{b }-1 }{\frac{a}{b }+1 }.\frac{b}{ a}=\frac{2m-2}{ 2m}.\frac{1}{2m-1 }=\frac{m-1}{m(2m-1) }[/tex].

[Гост]

Благодаря и на двамата!