задача с окръжност

[Гост]

Вписаната в ABC окръжност се допира до BC и AB съответно в точките N и M и пресича ъглополовящата CL в точките P и Q. Да се изчисли отношението на лицата на PQM и PQN, ако [tex]\alpha[/tex]=45, [tex]\gamma[/tex]=60.


Ако някой може да помогне с каквото и да е И построения строих, отчаяна съм, не знам какво да правя...

[Гост]

Малко да помогна ...
1. И двата триъг-ка са правоъгълни - PQ e диаметър
2. Ако M е на BC, N на AB и O е център на окръжността, спусни перпендикуляр от B към диаметъра PQ до пресичането му в т. F
3. Разгледай и определи ъглите MOQ и NOP.
4. Сега можеш да определиш ъглите PQN и QPM , тяхното отношение ти дава отговора..

[monika_at]

Малко да помогна ...

4. Сега можеш да определиш ъглите PQN и QPM , тяхното отношение ти дава отговора..

Отношение на ъгли не дава отношение на лица.

[monika_at]

От [tex]\Delta CLB=>\angle CLB=75^\circ[/tex]
Обърни внимание на чертежа в дясно. Изнесла съм фрагмент от основния чертеж.
[tex]\Delta MOP[/tex]-равнобедрен, защото [tex]OP=OM=r=>\angle OPM=\angle OMP=x; \angle LMO=\angle QMP=90^\circ =>\angle LMQ=\angle OMP=x[/tex]
[tex]\Delta LMP=>75^\circ +90^\circ +x+x=180^\circ =>x=7,5^\circ[/tex]
Аналогично се доказва, че [tex]\angle QPN=60^\circ[/tex]

[tex]\Delta QMP=>PM=QP.cos7,5^\circ ; \Delta QPN=>PN=QP.cos60^\circ[/tex]

[tex]\frac{S_{QPM}}{ S_{QPN}} =\frac{0.5QP.PMsin7,5^\circ }{ QP.PN.sin60^\circ } =\frac{cos7,5^\circ sin7,5^\circ }{cos60^\circ sin60^\circ } =\frac{sin15^\circ }{sin120^\circ }[/tex]

[tex]sin15^\circ =sin(60^\circ -45^\circ )=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4 }[/tex]. Остава само да заместиш.