Логаритмичо уравнение - 11 клас

[Гост]

http://sketchtoy.com/47888955

Тия хиксове извън логаритмите не знам какво да ги правя.
Някакви идеи?

[Vulev]

Прибавяме и изваждаме [tex]4log_{3}x[/tex]:
[tex](x+1)(log_{3}x)^2+(4xlog_{3}x+4log_{3}x)+(-4log_{3}x-16)=0[/tex]
[tex](x+1)(log_{3}x)^2+4(x+1)log_{3}x-4(log_{3}x+4)=0[/tex]
[tex](x+1)log_{3}x(log_{3}x+4)-4(log_{3}x+4)=0[/tex]
[tex][(x+1)log_{3}x-4](log_{3}x+4)=0[/tex]
Вторите скоби са по-симпатични: [tex]log_{3}x+4=0=>log_{3}x=-4=>x_{1}=3^{-4}=>x_{1}=\frac{1}{81}[/tex].
Първите скоби:
[tex](x+1)log_{3}x-4=0[/tex]
[tex]log_{3}x^{x+1}-4=0[/tex]
[tex]log_{3}x^{x+1}=4[/tex]
[tex]x^{x+1}=3^{4}[/tex]. Равенство се достига при x=3, което ни е и второто решение. Да видим, че за други x не е изпълнено равенството:
1) За 0<х<1 (х>0 като аргумент на логаритъма) имаме [tex]x^{(x+1)}<x^{0}=1<3^{4}[/tex]
2) За х=1 [tex]x^{(x+1)}=1<3^{4}[/tex]
3) За 1<х<3 [tex]x^{(x+1)}<x^{4}<3^{4}[/tex]
4) За х>3 [tex]x^{(x+1)}>x^{4}>3^{4}[/tex]
[tex]=>x_{2}=3[/tex].

[strangerforever]

Нека [tex]t = log_3x[/tex]. Тогава имаме:

[tex](x+1)t^2 + 4xt - 16 = 0[/tex], чиято дискриминанта (кратка) спрямо t е [tex]4x^2 + 16x + 16 = (2x+4)^2[/tex].

Тогава намираме корените и правим обратно полагане.