Показателни уравнения

[Гост]

Някой може ли да ми помогне с тези уравнения ?

(x+2)^(2x^2)=(x+2)^(4-2x)

2^(x2-1)+2^(x2+1)=5

x^(√x-1)=x^(x-3) - корена е върху х-1

[Добромир Глухаров]

[tex]1.)\ (x+2)^{2x^2}=(x+2)^{4-2x}[/tex]

[tex]\frac{(x+2)^{2x^2}}{(x+2)^{4-2x}}=1[/tex]

[tex](x+2)^{x^2+2x-4}=1=(x+2)^0[/tex]

[tex]a.)\ x+2=-1\ x=-3[/tex] Заместваме в уравнението: [tex](-1)^{2(-3)^2}=(-1)^{4-2(-3)}\Leftrightarrow (-1)^18=(-1)^10\\ \Leftrightarrow 1=1\Rightarrow\ x=-3[/tex] е решение. [tex]\fbox{x_1=-3}[/tex]

[tex]b.)\ x+2=0\ x=-2[/tex] Заместваме в уравнението: [tex]0^{2(-2)^2}=0^{4-2(-2)}\Leftrightarrow 0^8=0^8\\ \Leftrightarrow 0=0\Rigtarrow\ x=-2[/tex] е решение. [tex]\fbox{x_2=-2}[/tex]

[tex]c.)\ x+2=1\ x=-1[/tex] Заместваме в уравнението: [tex]1^{2(-1)^2}=1^{4-2(-1)}\Leftrightarrow 1^2=1^6\\ \Leftrightarrow 1=1\Rigtarrow\ x=-1[/tex] е решение. [tex]\fbox{x_3=-1}[/tex]

[tex]d.)\ 2x^2+2x-4=0\ x^2+x-2=0\ D=1-4.(-2)=9=3^2\ x_4=\frac{-1+3}{2}=1\ x_5=\frac{-1-3}{2}=-2=x_2\Rightarrow[/tex] отпада. Остава [tex]x_4=1[/tex]. Заместваме в уравнението: [tex]3^{2.1^2}=3^{4-2.1}\Leftrightarrow 3^2=3^2\Leftrightarrow 9=9\Rightarrow\ x=1[/tex] е решение. [tex]\fbox{x_4=1}[/tex]


[tex]2.)\ 2^{x^2-1}+2^{x^2+1}=5[/tex]

[tex]2^{x^2-1}(1+2^2)=5[/tex]

[tex]2^{x^2-1}.5=5[/tex]

[tex]2^{x^2-1}=1=2^0[/tex]

[tex]x^2-1=0[/tex]

[tex]x_1=1[/tex]
[tex]x_2=-1[/tex]


[tex]3.)\ x^{\sqrt{x-1}}=x^{x-3}[/tex]

[tex]D.C.: x\ge 1[/tex]

[tex]\fbox{x_1=1}[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}=x-3\ge 0\Rightarrow x\ge3[/tex]

[tex]x-1=(x-3)^2[/tex]

[tex]x-1=x^2-6x+9[/tex]

[tex]x^2-7x+10=0[/tex]

[tex]2.5=10;\ 2+5=7=-(-7)\ \Rightarrow[/tex] от обратната теорема на Виет [tex]x=2;\ x=5[/tex] са корени.

[tex]x=2<3\Rightarrow[/tex] не е корен. Остава [tex]\fbox{x_2=5}[/tex]

[Гост]

Много ти благодаря !

[Гост]

А може ли да ми дадеш някакви насоки за решението на тази система ?

|2^x 3^y=648
|3^x 2^y=432

[Добромир Глухаров]

[tex]\|\begin{array}{l}2^x.3^y=648\\3^x.2^y=432\end{array} |:[/tex]

Делим двете страни на първото уравнение на съответните страни на второто:

[tex]\frac{2^x.3^y}{2^y.3^x}=\frac{648}{432}[/tex]

[tex]2^{x-y}.3^{y-x}=1,5[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{y-x}=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]y-x=1\Rightarrow y=x+1[/tex]

Заместваме [tex]y[/tex] в първото уравнение:

[tex]2^x.3^{x+1}=648[/tex]

[tex]6^x.3=648[/tex]

[tex]6^x=216=6^3[/tex]

[tex]x=3[/tex]

[tex]y=4[/tex]

[Гост]

Отново благодаря .