Задача с триъгълник - 11 клас

[Гост]

Центровете на вписаната в ABC окръжност и на описаната около него окръжност са симетрични спрямо страната AB. Изчислете ъглите на триъгълника и отношенията [tex]\frac{r}{R }[/tex] и [tex]\frac{l_{a }}{l_{c } }[/tex] = ?

Щом са симетрични, разбрах, че центровете лежат на една права, успоредна на AB и разстоянията от тях до AB са равни. Нататък забивам.
Моля за мъничко помощ.
Благодаря предварително.

[math10.com]

zad.png (40.28 KiB) Прегледано 556 пъти

[tex]\triangle AOC[/tex] е равнобедрен [tex]AO=OC=R ; =>\angle ACO=\angle CAO[/tex]
[tex]\triangle AOI[/tex] е равнобедрен [tex]AO=OI=R ; ID=OD=r[/tex]
[tex]\angle CAI=\angle IAD=\angle DAO=\alpha ;(AI, AD[/tex] са ъглополовящи съответно в [tex]\triangle ABC,\triangle AOI)[/tex]
[tex]\angle AOD=180^\circ -90^\circ -\alpha =90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]\angle AOC+\angle CAO+\angle ACO=180^\circ ;=>3\alpha +3\alpha +90^\circ -\alpha=180^\circ ; =>\alpha =18^\circ[/tex]
[tex]\angle ABC=\angle BAC=2\alpha =36^\circ ; \angle ACB=180^\circ -4\alpha =108^\circ[/tex]
[tex]\frac{r}{R}=\frac{ID}{IA}=sin 18^\circ[/tex]
[tex]\frac{l_a}{l_c}=\frac{AI}{CD}=\frac{R}{R-r}=\frac{1}{\frac{R-r}{R}}=\frac{1}{1-\frac{r}{R}}=\frac{1}{1-sin 18^\circ }[/tex]

[Гост]

Искрено Ви благодаря. На вторият ред трябва да е AO=AI=R, но всичко друго е наред. Отново благодаря.

[Гост]

[tex]AL[/tex] - ъглополовяща в [tex]\Delta ABC[/tex](т. [tex]L[/tex] лежи на страната [tex]AB[/tex])
В [tex]\Delta ABC[/tex] прилагаме два пъти синусовата теорема:
[tex]\frac{AL}{sin108^\circ } = \frac{AC}{ sin54^\circ }[/tex]

В [tex]\Delta ACD[/tex]:
[tex]sin36^\circ[/tex]=[tex]\frac{CD}{AC }[/tex]

[tex]AC=\frac{CD}{sin36^\circ }[/tex]

[tex]\frac{AL}{sin108^\circ } = \frac{CD}{ sin54^\circ.sin36^\circ }[/tex]

[tex]sin36^\circ = cos54^\circ[/tex]

[tex]\frac{AL}{2.sin54^\circ.cos54^\circ } = \frac{CD}{ sin54^\circ.cos54^\circ }[/tex]

[tex]\frac{AL}{2 } = CD[/tex]

[tex]\frac{AL}{CD} = 2[/tex]