Триъгълник, аритметична прогресия

[Гост]

триъгълник ABC,в който BC=a; AC=b; AB=c;(взети в този ред образуват аритметична прогресия) ъгъл ACB=120°. Докажете че a:b:c = 3;5;7

[math10.com]

[tex]a,b,c[/tex] образуват аритметична прогресия в този ред
Нека разликата и е [tex]x[/tex].Следователно [tex]a=b-x ; c=b+x[/tex]
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab.cos \gamma[/tex] - Косинусова теорема
[tex](b+x)^2=(b-x)^2+b^2-2.(b-x).b.(-\frac{1}{2})[/tex]
[tex]b^2+2bx+x^2=b^2-2bx+x^2+b^2+b^2-bx[/tex]
[tex]5bx=2b^2[/tex]
[tex]x=\frac{2}{5}b[/tex]
[tex]a:b:c=(b-x):b:(b+x)=(b-\frac{2}{5}b):b:(b+\frac{2}{5}b)=\frac{5}{5}b:b:\frac{7}{5}b=3:5:7[/tex]