Задача с правоъгълен триъгълник - 11 клас

[Гост]

В правоъгълен триъгълник ABC(ъгъл C = 90 градуса) е вписана окръжност, която се допира до хипотенузата AB в т. F.
Ако AF:BF=2:3 и CF=[tex]\sqrt{\frac{29}{5 } }[/tex] , пресметнете страните на триъгълника.

Май не става дума за вписаната окръжност в ABC, а за друга, която само се допира до AB, нали?
Може ли малко помощ за тази задача.
Благодаря предварително.

[Гост]

пробвах ти задачата, ама е голяма главоблъсканица за мен
дано някой ти помогне

[monika_at]

пробвах ти задачата, ама е голяма главоблъсканица за мен
дано някой ти помогне

Да ползваме свойството на ъглополовящата:
[tex]\frac{AF}{BF } =\frac{AC}{BC }=\frac{2}{ 3} =>AC=2x; BC=3x[/tex]

Ще ползваме формулата за ъглополовяща към хипотенузата в правоъгълен триъгълник.
[tex]l=\frac{ab\sqrt{2} }{a+b } =>\sqrt{\frac{29}{ 5} } =\frac{6y^2\sqrt{2} }{ 5y}[/tex]

Така намираме катетите и после с Питагорова теорема - хипотенузата.

[pal702004]

AF не е ъглополовяща.

[monika_at]

С първата част съм съгласен. Но с втората - не. AF не е ъглополовяща.

Опааа, прав си. Уморена съм, явно. Сега ще я видя пак. Благодаря, за забележката.

[monika_at]

Реших я. След малко ще пусна решение с чертеж.

[pal702004]

Принципно, задачата може да се реши със средствата на аналитичната геометрия. Единична окръжност (нека засега е единична) се допира до абцисата и ординатата (там ще са катетите на триъгълника) Допирателната към окръжността (хипотенизата) я дели в съотношение 2:3. Тоест, ъглите се определят еднозначно. И разстоянието от началото на координатната система до точката на допиране е дадена, така че всичко може да се определи. Но ме мързи да смятам, а и ми се струва, че не това е най-добрият метод.
UPD

Реших я. След малко ще пусна решение с чертеж.

Ще ми е интерсно

[monika_at]

abc.png (15.87 KiB) Прегледано 436 пъти

Следваме означенията на чертежа.
Да означим [tex]AF=2x, BF=3x[/tex]
Когато триъгълникът е правоъгълен, лицето му е равно на произведението от допирателните отсечки, на които се разделя хипотенузата от вписаната окръжност, т.е.
[tex]S=2x.3x=6x^2=>ab=12x^2[/tex] (1)
[tex]a^2+b^2=c^2=>a^2+b^2=25x^2[/tex](2)
Въвеждаме [tex]\angle AFC=\alpha =>\angle BFC=180^\circ -\alpha[/tex]
Прилагаме косинусови теореми за [tex]\Delta AFC; \Delta BFC[/tex] и след умножение на първото уравнение с 3, а на второто с 2 и събирайки уравненията, получаваме:
[tex]2a^2+3b^2=30x^2+29[/tex] (3)
От системата уравнения (1) и (2) получаваме: [tex]a=4x; b=3x[/tex]. Заместваме в (3)=>
[tex]3.9x^2+2.16x^2=30x^2+29=>x=1=>a=4; b=3; c=5[/tex]