Геометрична прогресия -Истинска

[Гост]

Три положителни числа образуват геометрична прогресия.Ако третия член на тази прогресия се намали с 64,то ще получим три числа,които образуват аритметична прогресия.Ако втория член на получената аритметична прогресия намалим с 8 ,ще получим три числа,които образуват геометрична прогресия.Намерете числата.

Благодаря ви предварително

[Knowledge Greedy]

Нека числата са [tex]x,y,z.[/tex] Щом образуват геометрична прогресия, то [tex]y^2=xz.[/tex] (1)
Новата тройка числа са [tex]x,y,z-64.[/tex] Прогресията е аритметична, ето защо [tex]2y=x+z-64.[/tex] (2)
Накрая, последната тройка е [tex]x,y-8,z-64.[/tex] (3) И тъй като новата редица е отново геометрична прогресия, то
[tex](y-8)^2=x(z-64).[/tex] (3)
Получената система решаваме така: [tex]y^2[/tex] от първото уравнение заместваме в третото с [tex]xz[/tex] и след приведение получаваме [tex]-16y+64=-64x.[/tex] Оттук изразяваме [tex]y=x+4[/tex] и го заместваме във второто.То дава [tex]2(x+4)=x+z-64.[/tex] Изразяваме [tex]z[/tex] чрез [tex]x[/tex], а именно [tex]z=x+ 72[/tex].
След това отново се връщаме в първото уравнение, замествайки [tex]y[/tex] и [tex]z[/tex] с техните равни
[tex](x+4)^2=x(x+72).[/tex] Откриваме, че [tex]x=\frac{1}{4 }.[/tex] По-нататък следва [tex]y= \frac{17}{ 4}[/tex] и [tex]z= \frac{289}{ 4}[/tex].

[pal702004]

Тук като че ли е добре да се тръгне от аритметичната прогресия.
[tex]x-y,x,x+y[/tex] Ако към тртия член добавим 64 става геометрична, ако от вторият извадим 8 - пак. Или

[tex]\\(x-8)^2=x^2-y^2\\
x^2=(x-y)(x+y+64)[/tex]

[tex]\\16x=y^2+64\\
64x=y^2+64y[/tex]

Сега ако положим за улеснение и [tex]y=4z[/tex] ще получим

[tex]\\x=z^2+4\\
4x=z^2+16z[/tex]

и квадратното уравнение

[tex]3z^2-16z+16=0[/tex]

[pal702004]

Откъдето се получават решенията (за първата - геометрична прогресия)

[tex]4;20;100[/tex]
и
[tex]\frac 4 9;\frac {52}{9};\frac{676}{9}[/tex]