Четири числа

[nikostotel]

Намерете четири числа със следните свойства: първите три образуват аритметична прогресия; последните три образуват геометрична прогресия; сборът на крайните числа е 11, а сборът на средните е 10. Благодаря предварително!

[math10.com]

От аритметичната прогресия имаме:[tex]a_2+a_3=2a_2+d=10[/tex]

От геометричната прогресия имаме:[tex]a_3^2=a_2.a_4 \Right a_4=\frac{a_3^2}{a_2}[/tex]

и сега от аритметичната :[tex]a_4=\frac{a_3^2}{a_2}=\frac{(a_2+d)^2}{a_2}[/tex]

[tex]\Right a_1+a_4=\frac{(a_2+d)^2+a_2(a_2-d)}{a_2}=11[/tex]

И сега остана да решим системата:[tex]\begin{tabular}{|l}2a_2+d=10\\\frac{(a_2+d)^2+a_2(a_2-d)}{a_2}=11 \end{tabular}[/tex] [tex]\Right \begin{tabular}{|l}d=10-2a_2\\\2a_2^2+a_2.d+d^2-11a_2=0\end{tabular}[/tex]

[tex]\Right 2a_2^2+a_2(10-2a_2)+(10-2a_2)^2-11a_2=0[/tex]

[tex]\Right 2a_2^2+10a_2-2a_2^2+100-40a_2+4a_2^2-11a_2=0[/tex]

[tex]4a_2^2-41a_2+100=0[/tex] , откъдето получаваме 2-те двойки решения за [tex]a_2,d[/tex]

[tex]a_2=4 , d=2[/tex] и [tex]a_2=\frac{25}{4} , d=-\frac{5}{2}[/tex]

и окончателните решения: [tex]a_1=2, a_2=4 , a_3=6 , a_4=9[/tex] и [tex]a_1=\frac{35}{4},a_2=\frac{25}{4},a_3=\frac{15}{4},a_4=\frac{9}{4}[/tex]