Тригонометрични Урав-я и Нерав-ва

[Ivo]

Здравейте, ще може ли помощ за следните примерчета (вж снимката) :
Предварително се извинявам за качеството на картинката

[Knowledge Greedy]

Задача 2. Полагаме [tex]sinxsiny = u[/tex] и [tex]tgxtgy = v[/tex] , след което отделяме два точни квадрата, чиято сума случайно се оказва нула. [tex](4u-3)^{2} + (v-3)^{2}=0[/tex]. Значи за уравнението е достатъчно да решим система, която се свежда до алгебрична, линейна.
[tex]\left|\begin{matrix}
cosxcosy=\frac{1}{4}\\
sinxsiny= \frac{3}{4}
\end{matrix}\right[/tex]

[Knowledge Greedy]

В лявата страна съобразяваме как да употребим [tex]\sqrt{2}[/tex] - като част от [tex]\frac{\sqrt{2} }{2 }=cos\frac{\pi }{2}[/tex]. Така лявата страна добива вида
В дясната страна отделяме точен квадрат на [tex]cos8x-2[/tex] , след като сме изравнили аргументите на двете тригонометрични функции [tex]( cos16x=2cos^{2}8x -1).[/tex] След това оценяваме двете страни - лявата достига стойност най-много 2, докато дясната страна достига минимална стойност 2. Въпросът е дали ще се срещнат, т.е. при коя стойност на [tex]x[/tex] ще получат тази стойност 2?
[tex]2sin(3x+\frac{\pi }{4})=(cos8x-2)^{2}+1[/tex]
[tex]\left|\begin{matrix}
sin(3x+\frac {\pi }{4})=1 \\
cos8x & =1
\end{matrix} \right.[/tex]

[Knowledge Greedy]

Задача 1. Не забелязах модула в лявата страна. Корекцията е: добавяне на още една система, абсолютно аналогична на първата, благодарение на нечетността на функцията синус. Лявата страна е [tex]\pm 2\sqrt{2}(sin3x+cos3x)=\pm 4(\frac{\sqrt{2} }{2 }sin3x+ \frac{\sqrt{2} }{2 }cos3x)=\pm 4sin(3x+\frac{\pi }{4}[/tex][tex]\le4[/tex].
Дясната страна e [tex]cos16x-8cos8x+11=2cos^{2}8x-8cos8x+10=2(cos8x-2)^{2}+2[/tex][tex]\ge 4[/tex]
[tex]\left| \begin{matrix}
\pm sin(3x+\frac{\pi }{4})=1 \\
cos 8x=1
\end{matrix} \right[/tex]

[Knowledge Greedy]

Задача 3. Нека [tex]\alpha , 1[/tex] и [tex]\beta[/tex] са подредените по големина корени на [tex]x^{3}-2x+1[/tex]. Разглеждаме два случая - за да разкрием модулните скоби:
I. [tex]x\in (- \infty ,\alpha )\cup (1, \beta)[/tex]
II. [tex]x\in (\alpha, 1 )\cup ( \beta, +\infty )[/tex]
В първия случай неравенството е равносилно на [tex]4(sinx+2cosx)\le -9[/tex], което на свой ред се преобразува в [tex]sin(x+\varphi)\le -\frac{9\sqrt{5} }{20}[/tex] (*) след полагането [tex]\frac{1}{\sqrt{5} }= cos\varphi[/tex] и [tex]\frac{5}{\sqrt{5} }= sin\varphi[/tex]. Неравенството (*) няма решения, поради [tex]-\frac{9\sqrt{5} }{20}<-1[/tex].
Във втория случай неравенството добива вида [tex]sin(x+\varphi)\ge \frac{9\sqrt{5} }{20}[/tex] и отново няма решения, този път защото [tex]\frac{9\sqrt{5} }{20}>1[/tex].
Ако нещо не се получава или има допълнителни въпроси - питайте отново.

[Гост]

Благодаря ти за отговорите, Knoledge Greedy ! Ще ги прегледам обстойно и ако има проблем ще питам
P.S. Съжалявам за модула, но не знаех как иначе да го изобразя. Ако някой знае хубава програма да препоръча

[Гост]

Knowledge*